Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Seja S 1 o gráfico da função f : R 2 → R e S 2 a superfície de nível 0 de F x , y , z = x 2 - y + z 2 .

Seja C = S 1 ∩ S 2 e P = 1,2 , 1 ∈ C . Determine a equação da reta tangente à C em P , sabendo que

∂ f ∂ x 1,2 = 3         e       ∂ f ∂ y 1,2 = 5

Passo 1

Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor v → tangente a essa curva.

Repara que o vetor normal à S 1 é perpendicular a esse vetor v → e o vetor normal à S 2 também é perpendicular a esse vetor v → . Isso acontece porque o vetor v → pertence ao plano tangente tanto à S 1 quando à S 2 , já que ele é tangente À curva formada pela interseção dos dois.

Então o vetor v → vai ser o produto vetorial entre os vetores normais a S 1 e S 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar achando o plano tangente à f , não sabemos o valor da f , pode até bater um desespero, mas fique calmo, não é tal louco assim, repara que neste caso temos

z = f x , y

Vamos fazer

G x , y , z = z - f x , y

O vetor gradiente vai ser

∇ G = - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1

Passo 3

Agora pegamos esse vetor gradiente no ponto que ele pediu, P = 1,2 , 1

∇ G 1,2 , 1 = - ∂ f ∂ x 1,2 , - ∂ f ∂ y 1,2 , 1

Ele deu no enunciado os valores dessas derivadas

∇ G 1,2 , 1 = - 3 , - 5,1

O vetor normal vai ser

n → 1 = - 3 , - 5,1

Passo 4

Vamos agora ao vetor normal em S 2

Começando com o cálculo do gradiente de F x , y , z

∇ F = 2 x , - 1,2 z

Passo 5

Agora trocamos os valores do ponto no vetor gradiente

∇ F 1,2 , 1 = 2 , - 1,2

O vetor normal vai ser

n → 2 = 2 , - 1,2

Passo 6

Vamos agora ao cálculo de v →

v → = n → 1 × n → 2

v → = - 3 , - 5,1 × 2 , - 1,2

v → = - 9,8 , 13

A reta tangente então vai ser

r t = P 0 + v → t

r t = 1,2 , 1 + t - 9,8 , 13

r t = 1 - 9 t , 2 + 8 t , 1 + 13 t

Resposta

r t = 1 - 9 t , 2 + 8 t , 1 + 13 t

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