Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2013.2, questão 3.

Considere as funções F : R 3 R e f : R 2 R satisfazendo

F x , y , z = x 2 - y + z 2

f 1,2 = 1

f x 1,2 = 3

f y 1,2 = 5

Seja S 1 o gráfico de f e seja S 2 a superfície de nível de F dada pela equação F x , y , z = 0

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 no ponto 1,2 , 1 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  2. Determine a equação paramétrica (na forma r t = a 1 + a 2 t , b 1 + b 2 t , c 1 + c 2 t ) da reta tangente a S 1 S 2 no ponto 1,2 , 1 .

Passo 1

a )

A superfície S 1 é o gráfico da função z = f ( x , y ) .

Para calcular o plano tangente a essa superfície no ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ) , vamos primeiro jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar o lado direito igual a zero:

f x , y - z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = f x , y - z

Passo 3

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = F x , F y , F z = f x , f y , - 1

Passo 4

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

P 0 = ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )

P 0 = ( 1 , 2 , f ( 1 , 2 )

F P 0 = F 1,2 , 1

F 1,2 , 1 = f x ( 1,2 ) , f y ( 1,2 ) , - 1

F 1,2 , 1 = ( 3,5 , - 1 )

Pois esses valores a questão já deu pra gente, certo?

Passo 5

O vetor normal será n 1 = F P 0 :

n 1 = 3,5 , - 1

Passo 6

Agora é só substituir na equação do plano:

x , y , z n = P 0   n

x , y , z 3,5 , - 1 = 1 , 2 , 1 3,5 , - 1

3 x + 5 y - 1 z = 1 3 + 2 5 + 1 - 1

3 x + 5 y - z = 3 + 10 - 1 = 12

Assim, a equação do plano tangente a superfície S 1 é

3 x + 5 y - z - 12 = 0

Passo 7

b )

A reta tangente a curva de interseção das duas superfícies tem seu vetor diretor perpendicular simultaneamente aos vetores normais a S 1 e S 2 .

Esses vetores normais são os vetores gradientes.

Da superfície S 1 a gente já achou:

F 1 1,2 , 1 = n 1 = ( 3,5 , - 1 )

Agora para a superfície S 2

F 2 x , y , z = x 2 - y + z 2

F 2 x , y , z = 2 x , - 1,2 z

F 2 1,2 , 1 = n 2 = ( 2 , - 1,2 )

Passo 8

O vetor diretor da nossa reta tangente será o produto vetorial entre esses dois vetores, pois ele precisa ser perpendicular a eles dois, ao mesmo tempo.

v = n 1 × n 2

v = i j k 3 5 - 1 2 - 1 2 = 10   i - 2   j - 3   k - 10   k - 1   i - 6   j = ( 9 , - 8 , - 13 )

Passo 9

Assim, nossa reta tangente está na direção do vetor

v = ( 9 , - 8 , - 13 )

E passa pelo ponto

P 0 = 1,2 , 1

Então, ela pode ser parametrizada por:

r t = P 0 + v t

r t = 1,2 , 1 + ( 9 , - 8 , - 13 ) t

r t = ( 1 + 9 t , 2 - 8 t , 1 - 13 t )

Resposta

  1. Plano: 3 x + 5 y - z - 12 = 0
  2. r t = ( 1 + 9 t , 2 - 8 t , 1 - 13 t )

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