Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2018.1, Questão E6

A equação da reta tangente à curva de interseção das superfícies

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

x y z = 1

No ponto P = ( 1,1 , 1 ) comum a ambas as superfícies é:

  1. r t = 1,1 , 1 + - 2,4 , - 2 t ,       t R
  2. r t = 1,1 , 1 + - 2,4 , 2 t ,       t R
  3. r t = 1,1 , 1 + - 1,2 , - 2 t ,       t R
  4. r t = 1,1 , 1 + - 2 , - 2,1 t ,       t R
  5. r t = 1,1 , 1 + 2,4 , 2 t ,       t R

Passo 1

Reta tangente a curva de interseção entre duas superfícies?

Opa, nós temos um passo a passo pra isso, lembra dele?

  1. Calcular o vetor gradiente da superfície S 1 : F 1 P 0 = n 1
  2. Calcular o vetor gradiente da superfície S 2 : F 2 P 0 = n 2
  3. Fazer o produto vetorial entre esses dois vetores para encontrar um vetor na direção da reta: v = n 1 × n 2
  4. Substituir na equação da reta: r t = P 0 + v t
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa superfície S 1 é

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 6

Jogando tudo pra um lado só e chamando de F 1 ( x , y , z ) :

F 1 x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - 6

Nossa superfície S 2 é

x y z = 1

Jogando tudo pra um lado só e chamando de F 2 ( x , y , z ) :

F 2 x , y , z = x y z - 1

Passo 3

Agora vamos calular os vetores gradientes.

O gradiente de F 1 é:

F 1 x , y , z = 2 x , 4 y , 6 z

O gradiente de F 2 é:

F 2 x , y , z = y z , x z , x y

Substituindo ambos os gradientes no ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) :

F 1 1,1 , 1 = n 1 = 2,4 , 6

F 2 1,1 , 1 = n 2 = 1,1 , 1

Passo 4

O vetor que está na mesma direção da reta tangente a curva de interseção será o produto vetorial entre esses dois vetores:

v = n 1 × n 2 = i j k 2 4 6 1 1 1

v = 4   i + 6   j + 2   k - 4   k - 6   i - 2   j

v = - 2,4 , - 2

Passo 5

Agora é mole! É só substituir tudo na equação da reta:

r t = P 0 + v t

r t = ( 1,1 , 1 ) + - 2,4 , - 2 t

Que é a letra a.

Resposta

L e t r a   a

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