Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2015.1, Questão ME2

Seja C a curva obtida pela interseção das duas superfícies z = x + 2 y e x 3 + y 3 + z 3 = 7 . Uma parametrização da reta tangente a C no ponto ( 2 , - 1 ,   0 ) é:

(a) 2 , - 1 ,   0 + t 1,2 , 1 ,     t R

(b) 2 , - 1 ,   0 + t 1,2 , - 1 ,     t R

(c) 2 , - 1 ,   0 + t 1 , - 4 , - 7 ,     t R

(d) 2 , - 1 ,   0 + t 12 ,   3 ,   0 ,     t R

(e) 2 , - 1 ,   0 + t 3 , - 12 ,   21 ,     t R

Passo 1

Essa reta que ele pediu, por ser tangente a uma interseção de superfícies, vai ser tangente às duas superfícies no ponto ( 2 , - 1 ,   0 ) , certo? Então se a gente tiver os vetores normais das superfícies nesse ponto, vamos poder montar equações que vão ajudar a gente a resolver o problema. Assim a gente já tem uma ideia de como a gente vai proceder :)

Vamos começar pegando as equações das superfícies, jogando tudo pra um lado e deixando zero do outro:

z = x + 2 y       x + 2 y - z = 0

x 3 + y 3 + z 3 = 7       x 3 + y 3 + z 3 - 7 = 0

Show! Agora vamos nomear os lados esquerdos dessas equações de f e g , assim ó:

f x , y , z = x + 2 y - z

g x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - 7

Ou seja, a nossa curva C é a interseção das curvas de nível f x , y , z = 0 e g x , y , z = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular os gradientes das funções:

f x x , y , z = 1 + 0 - 0 = 1

f y x , y , z = 0 + 2 - 0 = 2

f z x , y , z = 0 + 0 - 1 = - 1

  f x , y , z = f 2 , - 1 ,   0 = ( 1,2 , - 1 )

E pra g :

g x x , y , z = 3 x 2 + 0 + 0 - 0 = 3 x ²

g y x , y , z = 0 + 3 y ² + 0 - 0 = 3 y ²

g z x , y , z = 0 + 0 + 3 z ² - 0 = 3 z ²

  g x , y , z = 3 x 2 , 3 y 2 , 3 z 2

E no ponto 2 , - 1 ,   0 :

g 2 , - 1 ,   0 = 3.4 ,   3.1 ,   3.0 = ( 12 ,   3 ,   0 )

Passo 3

Os gradientes f 2 , - 1 ,   0 e g 2 , - 1 ,   0 são vetores normais à curva C no ponto 2 , - 1 ,   0 ! Portanto, eles são normais ao vetor diretor u = ( a , b , c ) da reta tangente a C nesse ponto, e o produto vetorial entre eles vai dar o vetor u . Então:

f 2 , - 1 ,   0 × g 2 , - 1 ,   0 = 1,2 , - 1 × 12 ,   3 ,   0 = ( 3 , - 12 , - 21 )

u = ( 3 , - 12 , - 21 )

E como u é o vetor diretor, qualquer múltiplo dele também vai ser. Então, dividindo por 3:

u = ( 1 , - 4 , - 7 )

Jogando na equação paramétrica da reta:

x 0 , y 0 , z 0 + t u = 0

2 , - 1 ,   0 + t 1 , - 4 , - 7 = 0

Resposta

Alternativa (c)

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