Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

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Enunciado

Sejam S 1 e S 2 as superfícies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 em 1,1 , 1 .
  2. Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em 1,1 , 1

Passo 1

a )

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 2

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 - y 2 + z 2 = 1

⇒ x 2 - y 2 + z 2 - 1 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 - 1

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , - 2 y , 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1,1 , 1

⇒ ∇ F P 0 = 2.1 , - 2.1,2.1

∇ F P 0 = 2 , - 2,2

Passo 7

O vetor normal será n → 1 = ∇ F P 0 :

n → 1 = 2 , - 2,2

Vamos dividir por 2 para os números ficarem menores

n → 1 = 1 , - 1,1

Passo 8

Equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅   n →

⇒ x , y , z ⋅ 1 , - 1,1 = 1,1 , 1 ⋅ 1 , - 1,1

⇒ 1 x - 1 y + 1 z = 1 1 + 1 - 1 + 1 1

⇒ x - y + z = 1

Passo 9

b )

Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor v → tangente a essa curva.

Repara que o vetor normal à S 1 é perpendicular a esse vetor v → e o vetor normal à S 2 também é perpendicular a esse vetor v → . Isso acontece porque o vetor v → pertence ao plano tangente tanto à S 1 quanto à S 2 , já que ele é tangente à curva formada pela interseção dos dois.

Então o vetor v → vai ser o produto vetorial entre os vetores normais ao paraboloide e ao elipsoide

Passo 10

Já temos um dos vetores normais, falta acharmos o outro vetor normal, dessa vez a curva S 2

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 11

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 12

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y + x z = 2

⇒ x y + x z - 2 = 0

Passo 13

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y + x z - 2

Passo 14

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = y + z , x , x

Passo 15

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1,1 , 1

⇒ ∇ F P 0 = 1 + 1,1 , 1

∇ F P 0 = 2,1 , 1

Passo 16

O vetor normal será n → 2 = ∇ F P 0 :

n → 2 = 2,1 , 1

Passo 17

Vamos agora achar o vetor v →

v → = n → 1 × n → 2

v → = - 2,1 , 3

Para que fizemos isso tudo? Porque precisávamos achar o vetor tangente a curva de interseção de S 1 com S 2 .

A reta tangente vai ser

r t = P 0 + t v →

r t = 1,1 , 1 + t - 2,1 , 3

r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Resposta

  1. x - y + z = 1
  2. r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

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Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado S u p e r f i c i s : x + y 2 + z = 2 y = 1 Ponto: ( 1 / 2 , 1,1 /