Exercícios Resolvidos de Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Elaboração Própria

Sejam S 1 e S 2 as superfícies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 em 1,1 , 1 .
  2. Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em 1,1 , 1

Passo 1

a )

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 - y 2 + z 2 = 1

x 2 - y 2 + z 2 - 1 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 - 1

Passo 5

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = 2 x , - 2 y , 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

F P 0 = F 1,1 , 1

F P 0 = 2.1 , - 2.1,2.1

F P 0 = 2 , - 2,2

Passo 7

O vetor normal será n 1 = F P 0 :

n 1 = 2 , - 2,2

Vamos dividir por 2 para os números ficarem menores

n 1 = 1 , - 1,1

Passo 8

Equação do plano:

x , y , z n = P 0   n

x , y , z 1 , - 1,1 = 1,1 , 1 1 , - 1,1

1 x - 1 y + 1 z = 1 1 + 1 - 1 + 1 1

x - y + z = 1

Passo 9

b )

Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor v tangente a essa curva.

Repara que o vetor normal à S 1 é perpendicular a esse vetor v e o vetor normal à S 2 também é perpendicular a esse vetor v . Isso acontece porque o vetor v pertence ao plano tangente tanto à S 1 quanto à S 2 , já que ele é tangente à curva formada pela interseção dos dois.

Então o vetor v vai ser o produto vetorial entre os vetores normais ao paraboloide e ao elipsoide

Passo 10

Já temos um dos vetores normais, falta acharmos o outro vetor normal, dessa vez a curva S 2

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 11

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 12

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y + x z = 2

x y + x z - 2 = 0

Passo 13

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y + x z - 2

Passo 14

Calcular gradiente de F :

F x , y , z = y + z , x , x

Passo 15

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

F P 0 = F 1,1 , 1

F P 0 = 1 + 1,1 , 1

F P 0 = 2,1 , 1

Passo 16

O vetor normal será n 2 = F P 0 :

n 2 = 2,1 , 1

Passo 17

Vamos agora achar o vetor v

v = n 1 × n 2

v = - 2,1 , 3

Para que fizemos isso tudo? Porque precisávamos achar o vetor tangente a curva de interseção de S 1 com S 2 .

A reta tangente vai ser

r t = P 0 + t v

r t = 1,1 , 1 + t - 2,1 , 3

r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Resposta

  1. x - y + z = 1
  2. r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas