Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 302-1.

Ache uma equação geral do plano π , tangente à superfície esférica   S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0 pelo ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Passo 1

O enunciado nos fala que o plano π que devemos determinar é tangente à superfície S e que o ponto de tangência é T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) . Uma forma de terminar um plano é saber o seu vetor normal e um ponto que pertença ao plano. O ponto já temos que é o ponto T , o vetor normal podemos achar, pois se encontrarmos o centro C da esfera e fizermos o vetor C T → esse será o vetor normal ao plano π .

Bora começar!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que achar primeiro as coordenadas do centro da esfera. Para isso,vamos completar quadrados, mais uma vez!! Hehe

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0

( x 2 - 2 x ) + y 2 + z 2 - 1 = 0  

( x - 1 ) 2 - 1 + y 2 + z 2 - 1 = 0

( x - 1 ) 2 + y 2 + z 2 = 2

Assim, temos:

C = 1 ,   0 ,   0

ρ = 2

Passo 3

Vamos encontrar o vetor C T → :

C T → = T - C = 1 , - 1 ,   1 - 1 ,   0 ,   0 = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

C T → = ( 0 ,   - 1 ,   1 )

Como C T → é normal ao plano π ,e ntão a equação do plano é:

- y + z + d = 0

Para encontrarmos o valor de d vamos susbtiutir o ponto T = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) :

1 + 1 + d = 0 → d = - 2

Então, a equação do nosso plano π é:

- y + z - 2 = 0

Resposta

- y + z - 2 = 0

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