Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P3 – Questão 5

Considere a curva Τ = S ⋂ π , onde S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 4 z - 4 = 0 e π : 2 x + 2 y + z - 6 = 0 .

  1. Determine o centro e o raio da superfície esférica S .
  2. Mostre que Τ é uma circunferência. Determine também seu centro e raio.

Passo 1

  1. Bom, galerinha, se você olhar pra S , a gente vê que ela tem a cara de uma esfera, certo? A intuição geralmente dá certo! Pra confirmar, vamos desenvolver a expressão completando os quadrados.
  2. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 4 z - 4 = 0

    x 2 + 2 x + y 2 + z 2 - 4 z - 4 = 0

    x + 1 2 - 1 + y 2 + z - 2 2 - 4 - 4 = 0

    x + 1 2 + y 2 + z - 2 2 = 9

    Então chegamos em:

    x + 1 2 + y 2 + z - 2 2 = 3 2

    Isso aí é uma esfera mesmo, com o centro C = ( - 1 ,   0 ,   2 ) e raio 3 .

    Passo 2

  3. Pra começar, pensa o seguinte: vamos supor que a interseção é uma circunferência de centro C ' . Esse ponto a gente pode achar traçando uma perpendicular ao plano, passando pelo centro da esfera, porque essa reta vai bater bem no meiozinho da seção, e por isso, se for uma circunferência, vai ser o centro dela. Beleza! Essa reta r tem vetor diretor n → , que, como é normal ao plano π , é dado por n → = ( 2 ,   2 ,   1 ) . A gente pode escrever a reta assim:

r : C + λ n →

E C ' tá justamente nessa reta!

C ' = - 1 ,   0 ,   2 + λ 2 ,   2 ,   1

C ' = ( - 1 + 2 λ ,   2 λ ,   2 + λ )

Mas se liga: C ' tá no plano também né? A gente pode botar as coordenadas dele na equação do plano!

2 x + 2 y + z - 6 = 0

2 - 1 + 2 λ + 2 2 λ + 2 + λ - 6 = 0

- 2 + 4 λ + 4 λ + 2 + λ - 6 = 0

9 λ = 6

λ = 2 3

Então, substituindo na equação de C ' :

C ' = - 1 + 2 2 3 ,   2 2 3 ,   2 + 2 3

C ' = 1 3 , 4 3 , 8 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra determinar o raio, se liga na figura!

A gente consegue achar ele em função do raio da esfera e da distância entre os centros por Pitágoras, sacou?

d 2 + r 2 = R 2

d = - 1 - 1 3 2 + 0 - 4 3 2 + 2 - 8 3 2 = 36 9 = 2

Aí, substituindo:

2 2 + r 2 = 3 2

r 2 = 5

r = 5

Resposta

  1. C = - 1 ,   0 ,   2 e raio 3 .
  2. C ' = 1 3 , 4 3 , 8 3 e raio 5 .

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