Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Considere a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 y - 4 z - 4 = 0 e o plano π : 2 x - y + 2 z + 2015 = 0 .

a) Determine o centro e o raio da esfera S .

b) Determine os planos paralelos a π tais que suas intersecções com S resultam em circunferências de raio 2 2 .

Passo 1

a) Precisamos escrever a equação de S em um formato que a gente consiga identificar seu centro e raio. Completando quadrados em y e z :

x 2 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 - 4 z + 4 - 4 = 1 + 4

Ajustando por produtos notáveis:

x - 0 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = 9

Boaa, então concluímos que o centro da esfera é C = ( 0 ,   - 1 ,   2 ) e seu raio é R = 9 = 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Vamos pensar de uma forma genérica, imagine o seguinte plano que intersecta a esfera em uma circunferência de raio 2 2 :

Seja C o centro da esfera, Q o centro da circunferência e P um ponto da circunferência, temos um triângulo retângulo em Q , com hipotenusa R = 3 e Q P = 2 2 . Fazendo Pitágoras encontramos C Q :

R 2 = C Q 2 + Q P ²

C Q 2 = 9 - 8

C Q = 1

Passo 3

Beleza, então pra esse plano intersectar a esfera em uma circunferência de raio 2 2 , a distância de C até Q - ou seja, a distância de C até o plano que queremos - deve ser 1.

A equação genérica para os planos que estamos procurando é 2 x - y + 2 z + d = 0 , pois eles são paralelos a π e devemos encontrar apenas os possíveis valores de d .

Passo 4

Aplicando a fórmula de distância entre ponto e plano e igualando a 1, temos que:

2.0 - - 1 + 2.2 + d 4 + 1 + 4 = 1

5 + d 3 = 1

5 + d = 3

5 + d = ± 3

d = - 2 ou d = - 8

Então, os planos que satisfazem as condições do enunciado são:

π ' : 2 x - y + 2 z - 2 = 0

π ' ' : 2 x - y + 2 z - 8 = 0

Resposta

a) C = ( 0 ,   - 1 ,   2 ) e R = 3

b) π ' : 2 x - y + 2 z - 2 = 0

π ' ' : 2 x - y + 2 z - 8 = 0

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