Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 298-7.

Localize os pontos M = 1 ,   2 ,   1 ,   N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) e Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) em relação à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

Passo 1

Temos agora a equação de uma superfície esférica S e queremos saber a posição relativa dos pontos M ,   N e Q , ou seja, se os pontos são internos ou externos à esfera. Como vimos na teoria para verificar a posição entre ponto e reta devemos calcular a distância entre o ponto e o centro da esfera e comparar o valor dessa distância com o raio. Então, primeira coisa que teremos que fazer é achar as coordenadas do centro da esfera e seu raio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a equação que nos foi dada está no formato de equação geral vamos completar quadrados para achar a equação reduzida e então verificarmos as coordenadas do centro e o raio.

Completando quadrados temos:

  x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - z - 1 = 0

  ( x 2 - 2 x ) + ( y 2 + 4 y ) + ( z 2 - z ) - 1 = 0

  ( x - 1 ) 2 - 1 + y + 2 2 - 4 + z - 1 2 2 - 1 4 - 1 = 0

  ( x - 1 ) 2 + y + 2 2 + z - 1 2 2 = 25 4

Com a equação acima conseguimos achar o que precisamos, logo:

C = 1 ,   - 2 , 1 2

ρ = 5 2 = 2,5

Passo 3

Agora, o que temos que fazer é calcular a distância entre o ponto e o centro C e comparar com o raio.

Para M = 1 ,   2 ,   1 :

d M , C = ( 1 - 1 ) 2 + ( 2 + 2 ) 2 + 1 - 1 2 2 = 65 2 4

Como d M , C > ρ , então o ponto M é externo à superfície S .

Para N = ( - 1 ,   - 1 ,   0 ) :

d N , C = ( - 1 - 1 ) 2 + ( - 1 + 2 ) 2 + 0 - 1 2 2 = 21 2 2,2

Como d N , C < ρ , então o ponto N é interno à superfície S .

Para terminar!!

Para Q = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) :

d Q , C = ( 1 - 1 ) 2 + ( 0 + 2 ) 2 + - 1 - 1 2 2 = 25 2 = 2,5

Como d Q , C = ρ , então o ponto M pertence à superfície S .

Mais um exercícios se foi!!

Resposta

M = 1 ,   2 ,   1   e x t e r n o   à   S

N = - 1 ,   - 1 ,   0   i n t e r n o   à   S

Q = 1 ,   0 ,   - 1   p e r t e n c e   à   S

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas