Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Considere as superfícies esféricas

S 1 : x + 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 9

S 2 : x - 1 2 + y - 2 2 + z + 1 2 = 16

a) Justifique por que C = S 1 ∩ S 2 é uma circunferência.

b) Determine a equação geral do plano que contém a circunferência C .

c) Determine o centro e o raio de C .

Passo 1

a) Analisando a equação de S 1 , vemos que seu centro é C 1 = ( - 1 ,   1 ,   1 ) e seu raio é R 1 = 9 = 3 .

O centro de S 2 é C 2 = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e seu raio é R 2 = 16 = 4 .

A distância entre os centros das circunferências é d C 1 ,   C 2 = - 1 - 1 2 + 1 - 2 2 + ( 1 - - 1 ) ² = 2 2 + 1 2 + 2 ² = 3 .

Temos que a diferença entre os raios é menor do que d ( C 1 ,   C 2 ) enquanto a soma dos raios é maior:

4 - 3 < 3 < 4 + 3

Logo, C = S 1 ∩ S 2 é uma circunferência.

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Passo 2

b) Primeiro vamos abrir os quadrados das duas equações:

S 1 : x 2 + 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = 9 S 2 : x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1 = 16

Subtraindo as duas equações, vamos ter

S 1 - S 2 = 4 x + 2 y - 4 z = - 4

Então, o plano π que contém a circunferência C é 4 x + 2 y - 4 z + 4 = 0 .

Passo 3

c) C vai ser a intersecção do plano π com qualquer uma das esferas do enunciado.

Vamos fazer π ∩ S 1 , vamos ter que

d = d C 1 ,   π = - 2 + 1 - 2 + 2 4 + 1 + 4 = 1 3

Da relação R 1 2 = d 2 + r ² temos que r = 3 2 - 1 3 2 = 4 5 3 .

Belezinha, já achamos o raio, agora só falta o centro :D

O centro de C vai ser a projeção ortogonal de C 1 sobre π , ou seja, a intersecção de π com a reta X = - 1 ,   1 ,   1 + λ ( 2 ,   1 ,   - 2 ) .

Um ponto genérico da reta X é Q = ( - 1 + 2 λ ,   1 + λ ,   1 - 2 λ ) , vamos substituir esse ponto na equação do plano π para encontrar a intersecção:

4 ( - 1 + 2 λ ) + 2 ( 1 + λ ) - 4 ( 1 - 2 λ ) + 4 = 0

Daí temos que λ = 1 9 .

Substituindo no ponto genérico Q , temos que o centro de C é

Q = - 7 9 , 10 9 , 7 9

Resposta

a) Demonstração.

b) 4 x + 2 y - 4 z + 4 = 0 .

c) r = 4 5 3 e Q = - 7 9 , 10 9 , 7 9 .

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