Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Determine o centro e o raio da circunferência Γ cuja equação é

x 2 + y 2 + z 2 + 2 z - 8 = 0 x + y + z - 2 = 0

Passo 1

No sistema do enunciado temos a intersecção de uma esfera com um plano, isso nos dá uma circunferência lembra? :D

Primeiro vamos encontrar a equação canônica da esfera (primeira linha):

x 2 + y 2 + z 2 + 2 z + 1 = 8 + 1

x 2 + y 2 + z + 1 2 = 9

Então o centro da esfera é C = ( 0 ,   0 ,   - 1 ) e o raio é R = 9 = 3

A distância de C até o plano (equação da segunda linha) é

d = - 1 - 2 3 = 3

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Passo 2

Seja uma reta l perpendicular ao plano (seu vetor diretor vai ser o vetor normal do plano) e que contenha o ponto C , a equação dessa reta é l : X = 0 ,   0 ,   - 1 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) .

O ponto C ' vai ser a intersecção de l com o plano ok?

Um ponto genérico de l é ( λ ,   λ ,   - 1 + λ ) , bora substituir esse ponto na equação do plano:

λ + λ + ( 1 - λ ) - 2 = 0

λ = 1

Substituindo no ponto genérico:

C ' = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 3

Já o raio r da circunferência vai ser um cateto do triângulo retângulo cuja hipotenusa é R e o outro cateto é d fechou? :D

R 2 = r 2 + d ²

r 2 = 9 - 3

r = 6

Resposta

C ' = ( 1 ,   1 ,   0 ) e r = 6

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