Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Dadas as esferas

S 1 : x - 1 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

S 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 3 = 0

a) Determine o centro e o raio da circunferência C = S 1 ∩ S 2 .

b) Determine a equação geral do plano que contém C = S 1 ∩ S 2 .

Passo 1

a) Abrindo os quadrados em S 1 :

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + z 2 - 2 z + 1 = 1

x 2 - 2 x + y 2 + z 2 - 2 z + 1 = 0

A intersecção das esferas vai ser dada pelo sistema:

x 2 - 2 x + y 2 + z 2 - 2 z + 1 = 0 x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 + 3 = 0

Subtraindo as duas equações:

2 x + 2 y - 2 z - 2 = 0

π :   x + y - z = 1

Esse plano contém a intersecção das esferas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A circunferência C vai ser dada por

π ∩ S 1 = π ∩ S 2

O centro Q de C vai ser a projeção do centro de uma das esferas no plano π , então:

Dada uma reta l perpendicular a π e que passe pelo centro de uma das esferas, sua equação será l : X = 1 ,   0 ,   1 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 ) . O centro de C vai ser a intersecção da reta l com o plano π .

Um ponto genérico de l é ( 1 + λ ,   λ ,   1 - λ ) , vamos substituir esse ponto na equação do plano π :

π ∩ l :   1 + λ + λ - ( 1 - λ ) = 1

λ = 1 3

Substituindo λ no ponto genérico, vamos ter que o centro de C é

Q = 4 3 , 1 3 , 2 3

Passo 3

A distância do centro de S 1 até o plano π é

d = 1 + 0 - 1 - 1 3

d = 1   3

Na figura abaixo temos a circunferência S 1 e o plano π . Na intersecção deles temos a circunferência C .

Vamos observar o que raio r da circunferência C é um cateto de um triângulo retângulo com hipotenusa R S 1 (raio de S 1 ) e o outro cateto é o d que acabamos de encontrar. Então

R S 1 2 = r 2 + d ²

r 2 = 1 - 1 3

Então o raio r de C é

r = 2 3

Passo 4

b) Opa, já encontramos esse plano na letra a, lá no passo 1 :)

π :   x + y - z = 1

Resposta

a) Q = 4 3 , 1 3 , 2 3 e r = 2 3

b) π :   x + y - z = 1

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