Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 303-3.

Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica

S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

Que são paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .

Passo 1

O enunciado pede para obtermos as equações gerais dos planos que são:

  • Tangentes à superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0
  • Paralelos ao plano π 1 : x - y - 2 z - 2 = 0 .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar olhando para a segunda informação que nos foi dada!! Como vimos na teoria sobre planos, se dois planos são paralelos significa que seus vetores normais também são paralelos e como foi dada a expressão geral do plano π 1 e essa expressão é do formato:

a x + b y + c z + d = 0

Sendo ( a ,   b ,   c ) as coordenadas do vetor normal, então, a equação dos nossos planos que queremos encontrar será:

x - y - 2 z + d = 0

Passo 3

Falta, agora, determinarmos o valor de d . Para isso, vamos usar a informação em relação à superfície esférica. Sabemos que S é tangente aos planos que queremos encontrar e da teoria sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes devemos ter:

d C ,   π = ρ

Então, temos que achar as coordenadas do centro C e valor do raio ρ para calcularmos a distância d ponto C até o plano π que queremos determinar. Para achar C e ρ vamos completar quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y - 1 = 0

( x 2 + 2 x ) + ( y 2 + 2 y ) + z 2 - 1 = 0

( x + 1 ) 2 - 1 + y + 1 2 - 1 + z 2 - 1 = 0

( x + 1 ) 2 + y + 1 2 + z 2 = 3

Portanto,

C = ( - 1 ,   - 1 ,   0 )

ρ = 3

Passo 4

Sabendo que C = - 1 ,   - 1 ,   0 ,     ρ = 3 e que x - y - 2 z + d = 0 , vamos usar aquela fórmula, lembra, para calcular distância entre ponto e plano, essa aqui oh:

Substituindo os valores, temos:

d C , π = 1 . - 1 - 1 . - 1 - 2 . 0 + d 1 2 + ( - 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 = d 6

Como são tangentes:

d C ,   π = ρ ρ = 3    

d 6 = 3

d = 18 = 3 2

Então,

d = ± 3 2

Chegamos então nas duas possibilidades de planos tangentes à S e paralelos ao plano π 1 :

x - y - 2 z + 3 2 = 0

x - y - 2 z - 3 2 = 0

Resposta

x - y - 2 z + 3 2 = 0

x - y - 2 z - 3 2 = 0

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