Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 305-11.

Dê uma equação da superfície esférica tangente aos planos

π 1 : x = 2 z + 8               e                   π 2 : 2 x - z + 5 = 0 ,

Cujo centro pertence à reta x + 2 = y = 0

Passo 1

Esse exercício é um pouco diferente do que vínhamos fazendo. Queremos novamente determinar a equação da superfície esférica. Mas, agora, as informações que nos são dadas para isso são:

  • Superfície tangente aos planos π 1 : x = 2 z + 8               e                   π 2 : 2 x - z + 5 = 0
  • Centro da superfície pertence à reta x + 2 = y = 0

Teremos que usar essas informações para achar as coordenadas do centro C e o raio ρ da esfera. Mas, como faremos isso?

Relaxa!! Vamos fazer o passo a passo!! ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema sempre bom fazer um esboço das informações que temos para tentar abstrair e ver como podemos chegar a uma solução!! Então, a figura a seguir seria um bom esboço!

Vamos começar determinando o centro C . Sabemos que C pertence à reta x + 2 = y = 0 . Com a relação que nos foi dada, chegamos que:

x = - 2

y = 0

Então, um ponto genérico da reta possui as seguintes coordenadas:

P ( x ,   y ,   z ) = ( - 2 ,   0 ,   z )

Então,

C = ( - 2 ,   0 ,   z )

Passo 3

Agora, vamos utilizar os planos. Sabemos que os planos são tangentes à esfera. Então, isso significa que a distância entre o plano π 1 e C é igual a distância entre π 2 e C , portanto:

d π 1 ,   C = d ( π 2 ,   C )

Como temos a distância entre um ponto e um plano usaremos a seguinte fórmula:

Para o plano π 1 : x = 2 z + 8 :

a = 1 ,   b = 0 ,   c = - 2 ,   d = - 8

Para o plano π 2 : 2 x - z + 5 = 0 :

a = 2 ,   b = 0 ,   c = - 1 ,   d = 5

Substituindo os valores acima na fórmula e considerando C = - 2 ,   0 ,   z = ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) :

1 . - 2 + 0.0 + - 2 . z - 8 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 2 . - 2 + 0.0 + - 1 . z + 5 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2

Elevando os dois membros ao quadrado e resolvendo:

1 . - 2 + 0.0 + - 2 . z - 8 = 2 . - 2 + 0.0 + - 1 . z + 5

( - 2 z - 10 ) 2 = ( - z + 1 ) 2

4 z 2 + 40 z + 100 = z 2 - 2 z + 1

3 z 2 + 42 z + 99 = 0

z 2 + 1 4 z + 33 = 0

z = - 11       o u         z = - 3

Temos duas possibilidade para C :

z = - 11 → C = ( - 2 ,   0 ,   - 11 )

z = - 3 → C = ( - 2 ,   0 ,   - 3 )

Passo 4

Para determinar uma superfície esférica precisamos de C e do raio, então vamos calcular uma das distâncias d π 1 ,   C ou d ( π 2 ,   C ) , escolhendo d π 1 ,   C e calculando temos:

Para C = ( - 2 ,   0 ,   - 11 )

d π 1 ,   C = 1 . - 2 + 0.0 + - 2 . ( - 11 ) - 8 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 12 5

ρ = 12 5

Para C = ( - 2 ,   0 ,   - 3 )

d π 1 ,   C = 1 . - 2 + 0.0 + - 2 . ( - 3 ) - 8 ( 1 ) 2 + 0 2 + ( - 2 ) 2 = 4 5

Portanto, temos como solução duas superfícies esféricas possíveis:

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 11 ) 2 = 144 5

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2 = 16 5

Resposta

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 11 ) 2 = 144 5

( x + 2 ) 2 + y 2 + ( z + 3 ) 2 = 16 5

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