Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Considere a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 36 e o plano π : x + 2 y + 2 z - 9 = 0 .

a) Determine o centro e o raio da circunferência Γ : x 2 + y 2 + z 2 = 36 x + 2 y + 2 z - 9 = 0

b) Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos centros de S e Γ .

Passo 1

a) Temos a intersecção da esfera S com o plano π . Isso vai nos dar uma circunferência certo?

Bom, antes de tudo, vamos encontrar o centro e o raio de S . Podemos escrever sua equação assim:

( x - 0 ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( z - 0 ) 2 = 6 ²

Então o centro de S é C = ( 0 ,   0 ,   0 ) e o seu raio é R = 6

Ah, outra informação que vai ser útil é calcularmos a distância do ponto C até o plano π :

d C ,   π = d = 0.1 + 0.2 + 0.2 - 9 1 + 4 + 4 = 9 3 = 3

Bora pros próximos passos então!!

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Passo 2

Seja uma reta r perpendicular ao plano π (ou seja, seu vetor diretor vai ser o vetor normal de π :   n → = ( 1 ,   2 ,   2 ) ) e que passe pelo ponto C .

A equação da reta r , de acordo com essas informações, é

r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   2 ,   2 )

Beleza, mas aí, por análise geométrica, a gente repara que o centro C ' da circunferência vai ser a intersecção da reta r com o plano π , olha:

Basicamente: C ' é a projeção de C no plano π , e a projeção sempre se dá ortogonalmente.

Como a reta r é ortogonal ao plano π e passa por C , sua intersecção com o plano vai dar a projeção ortogonal de C , ou seja, o ponto C ' . Deu pra entender? Hehe

Passo 3

Então bora calcular a intersecção da reta r com o plano π , para encontrarmos o centro C ' da circunferência.

Um ponto genérico de r é C ' = ( λ ,   2 λ ,   2 λ ) . Vamos substituir esse ponto na equação do plano:

x + 2 y + 2 z - 9 = 0

λ + 2 ( 2 λ ) + 2 ( 2 λ ) - 9 = 0

9 λ = 9

λ = 1

Substituindo isso no ponto genérico, temos que:

C ' = ( 1 ,   2 ,   2 )

Aeee, já achamos o centro da circunferência, agora só falta o raio :P

Passo 4

Repara uma coisa: os pontos C , C ' e um ponto P da circunferência formam um triângulo retângulo em C ' com hipotenusa R e catetos d (aquele lá do passo 1) e r (raio da circunferência que queremos descobrir).

Então é só a gente usar Pitágoras pra encontrarmos nosso r certo?

R 2 = r 2 + d ²

r 2 = 6 2 - 3 ²

r 2 = 36 - 9

r 2 = 27

r = 27 = 3 3

Boa, encontramos nosso centro C ' e nosso raio r da circunferência :)

Passo 5

b) Opa, já achamos essa reta no item anterior, é a reta r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   2 ,   2 ) .

A equação paramétrica dela é

x = λ y = 2 λ z = 2 λ

E é isso :D

Resposta

a) C ' = ( 1 ,   2 ,   2 ) e r = 27 = 3 3

b) x = λ y = 2 λ z = 2 λ

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