Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 311-13.

Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro ( 1 ,   0 ,   1 ) que tangenciam interiormente a superfície esférica S :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0 .

Passo 1

Mais uma vez queremos descobrir as superfícies esféricas que tangenciam interiormente a superfície S . Sabemos da teoria que para serem tangentes d C 2 ,   π = ρ 2 , mas e para serem tangentes interiormente? Bom, aí você precisa de uma informação que ainda não falamos que é a seguinte:

Supondo que ρ 1 ρ 2 :

  • Se   d C 1 ,   C 2 = ρ 1 + ρ 2 , S 1 e S 2 são tangentes exteriormente
  • Se   d C 1 ,   C 2 = | ρ 2 - ρ 1 | são tangentes interiormente

Sabendo disso conseguimos resolver o exercício!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Precisamos determinar o valor de ρ 1 para determinarmos as superfícies tangentes à S , pois já temos que C 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) , então, falta determinarmos: ρ 2 ,   C 2   e   d C 1 ,   C 2 para então aplicarmos a fórmula. Lembrando que estamos assumindo que as superfícicies que queremos encontrar possuem ρ 1 ρ 2 , pois são internas à S .

Completando quadrado de S :

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + y - 10 = 0

( x - 1 ) 2 - 1 + y + 1 2 2 - 1 4 + z 2 - 10 = 0

( x - 1 ) 2 + y + 1 2 2 + z 2 = 45 4

Portanto:

C 1 = 1 ,   - 1 2 ,   0

ρ 2 = 3 5 2

d C 1 ,   C 2 = 5 2

Passo 3

Usando a fórmula:

d C 2 ,   π = ρ 2 + ρ 2 + ρ 1 - d C 1 ,   C 2 ρ 2 - ρ 1 - d C 1 ,   C 2 2 d C 1 ,   C 2

E sabendo que para tangenciarem:

d C 2 ,   π = ρ 2

Então,

ρ 2 + ρ 1 - d C 1 ,   C 2 ρ 2 - ρ 1 - d C 1 ,   C 2 2 d C 1 ,   C 2 = 0

Subsituindo os valores:

3 5 2 + ρ 2 - 5 2 3 5 2 - ρ 2 - 5 2 = 0

Como estamos lidando com distâncias, vamos considerar que:

3 5 2 + ρ 2 - 5 2 = 0         o u         ρ 2 - 3 5 2 - 5 2 = 0

Assim, temos dois valores possíveis de ρ 2 :

ρ 2 = 5       e         ρ 2 = 2 5

Para verificar se os dois fazem sentido, vamos verificar se

d C 1 ,   C 2 = ρ 2 - ρ 1

Para ρ 2 = 5 :

d C 1 ,   C 2 = ρ 2 - ρ 1 5 2 = 5 - 3 5 2 5 2 = 5 2 s a t i s f a z  

Para ρ 2 = 2 5 :

d C 1 ,   C 2 = | ρ 2 - ρ 1 | 5 2 = 2 5 - 3 5 2   5 2 = 5 2 s a t i s f a z  

Assim, nossas superfícies possíveis são:

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 5

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 20

Resposta

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 5

( x - 1 ) 2 + y 2 + ( z - 1 ) 2 = 20

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