Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 306-18.

Calcule a para que o plano x + y + z = a seja tangente a x 2 + y 2 + z 2 = 12 , e determine o ponto de tangência.

Passo 1

Temos duas informações para encontrar: o valor de a para que o plano seja tangente à esfera e determinar o ponto de tangência. Vamos começar determinando o valor de a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que para que um plano e uma esfera sejam tangentes, precisamos respeitar a relação:

d C , π = ρ

Para acharmos a e que respeita a relação acima, temos, primeiro, que encontrar as coordenadas de C e o raio ρ . Para isso, vamos analisar a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = 12

( x - 0 ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( z - 0 ) 2 = 12

Temos, que:

C = 0 ,   0 ,   0

ρ = 12 = 2 3

Para calcular a distância d C , π vamos usar a fórmula:

Sendo que da expressão x + y + z = a , temos:

a = 1 ,   b = 1 ,   c = 1 ,   d = - a

Substiutindo temos:

d C ,   π = 1.0 + 1.0 + 1.0 - a 1 + 1 + 1 = 2 3

- a 3 = 2 3

- a = 6

Então,

x + y + z = 6       o u     x + y + z = - 6

Vamos fazer o passo a passo para:

x + y + z - 6 = 0

Para achar os outros valores é o mesmo esquema ;)

Passo 3

Falta encontrarmos o ponto T que é o ponto de tangência. Para achar T temos que lembrar da seguinte figura:

Temos que T = ( x ,   y ,   z ) pertence ao plano π , sabemos também que como o plano e a esfera são tangentes, se acharmos duas retas que possuem o ponto T essas duas retas serão perpendiculares à reta formada pelo vetor C T . Se são perpendiculares, podemos usar que:

C T v = 0

Então, vamos encontrar dois pontos distintos de π e com eles construiremos dois vetores que passam por T e que são perpendiculares ao vetor C T . Um ponto para pertencer à π deve satisfazer:

x + y + z - 6 = 0

Se escolhermos x = 0 ,   y = 0 , o valor de z = 6 . Temos, então nosso primeiro ponto A = ( 0 ,   0 ,   6 ) . O segundo ponto pode ser x = 1 ,   y = 0 , então z = 5 . Temos, B = ( 1 ,   0 ,   5 ) . Com esses dois pontos podemos construir os vetores:

A T = x ,   y ,   z - 0 ,   0 ,   6 = x ,   y ,   z - 6

B T = x ,   y ,   z - 1 ,   0 ,   5 = ( x - 1 ,   y ,   z - 5 )

O vetor C T é:

C T = x ,   y ,   z - 0 ,   0 ,   0 = ( x ,   y ,   z )

Vamos fazer os produtos internos:

A T C T = x ,   y ,   z - 6 x ,   y ,   z = 0 x 2 + y 2 + z 2 - 6 z = 0

B T C T = x - 1 ,   y ,   z - 5 x ,   y ,   z = x 2 - x + y 2 + z 2 - 5 z = 0

Além disso temos que:

x 2 + y 2 + z 2 = 12

Obtemos um sistema:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 z = 0       ( 1 ) x 2 - x + y 2 + z 2 - 5 z = 0     ( 2 ) x 2 + y 2 + z 2 = 12         ( 3 )

Substituindo ( 3 ) em ( 1 ) , temos:

- 6 z = - 12 z = 2

Subsituindo ( 3 ) em ( 2 ) :

12 - x - 5 z = 0

Sendo z = 2

12 - x - 10 = 0 x = 2

Por fim, sabendo que x = z = 2 , substuindo em ( 3 ) :

4 + 4 + y 2 = 12 y = ± 2

Para saber qual y é o “correto”, como T pertence à π deve satisfazer:

x + y + z - 6 = 0

Se x = z = 2 , então:

y = 2

Encontramos o ponto T = ( 2 ,   2 ,   2 ) .

Ufa!! Terminamos!!

Resposta

x + y + z - 6 = 0 -   T = ( 2,2 ,   2 )

x + y + z + 6 = 0 - T = ( - 2 ,   - 2 ,   - 2 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas