Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2019.1, Questão 2

Considere o plano π : x + 2 y - 2 z + 4 = 0 e seja S uma superfície esférica que tem centro C = ( 3 ,   2 ,   1 ) . Sabendo que π é tangente a S , escreva uma equação para S e determine o ponto S π .

Passo 1

Se liga! Se S é tangente a π , a distância do centro da esfera até o plano é exatamente o raio, show? Então vamos usar a fórmula de distância de ponto a plano!

d C , π = R

R = 1 3 + 2 2 - 2 1 1 2 + 2 2 + - 2 2 = 9 9

R = 3

Se temos o centro e o raio, já sabemos escrever a equação da esfera!

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 9

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Passo 2

Beleza, agora a gente quer o ponto de interseção. Concorda comigo que o vetor que liga o ponto de tangência ao centro da esfera é perpendicular ao plano? Isso aí a gente sabe lá da geometria espacial! Então o ponto de tangencia vai ser a interseção desse vetor com o plano. Repara que o diretor desse vetor é o normal ao plano, já que o ângulo do vetor com o plano é perpendicular. Então, o nosso vetor é:

r : X = 3 ,   2 ,   1 + λ ( 1 ,   2 ,   - 2 )

Portanto, um ponto qualquer dele tem coordenadas:

x = 3 + λ y = 2 + 2 λ z = 1 - 2 λ

Passo 3

A interseção dele com o plano a gente acha substituindo as coordenadas do vetor na equação do plano!

x + 2 y - 2 z + 4 = 0

3 + λ + 2 2 + 2 λ - 2 1 - 2 λ + 4 = 0

9 λ + 9 = 0

λ = - 1

Substituindo nas coordenadas do vetor, achamos o ponto de tangência!

T = 3 - 1 ,   2 + 2 - 1 ,   1 - 2 - 1

T = ( 2 ,   0 ,   3 )

Resposta

x - 3 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 9

T = ( 2 ,   0 ,   3 )

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