Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

UFPE, Geometria Analítica, Prova Final - 2019.1, Questão Q4

A esfera S tem centro na origem e raio 4 e a circunferência C tem centro Q = ( 2 ,   2 ,   2 ) .

a) Escreva a equação geral do plano π sabendo que C = S π .

b) Determine o raio da circunferência C .

Passo 1

a) O plano π deve conter o centro Q da circunferência e ser perpendicular ao vetor O Q = ( 2 ,   2 ,   2 ) .

Logo, o vetor O Q será um vetor normal desse plano:

2 x + 2 y + 2 z + d = 0

Substituindo o ponto Q para encontrarmos d :

2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2 + d = 0

d = - 12

Logo, a equação do plano será

2 x + 2 y + 2 z - 12 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A distância do centro da esfera até o centro da circunferência é

d O , Q = 2 - 0 2 + 2 - 0 2 + ( 2 - 0 ) ² = 12

E o raio da esfera é R = 4 .

O raio a da circunferência deve, geometricamente, satisfazer

R 2 = d 2 + a ²

a 2 = 16 - 12 = 4

a = 2

Resposta

a) 2 x + 2 y + 2 z - 12 = 0

b) a = 2

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