Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2018.2, Questão 2

Seja S a superfície esférica que tem por diâmetro o segmento de extremos A = ( - 1 ,   - 1 ,   3 ) e B = ( 7 ,   - 1 ,   - 3 ) .

  1. Determine uma equação para S .
  2. Determine o centro e o raio da interseção de S com o plano 3 x + 5 y + 4 z = 3 .

Passo 1

  1. Ele deu pra gente os dois extremos do diâmetro. Mas o que é está bem no centro do diâmetro? Pois é, o centro da esfera!

C = A + B 2

C = - 1 , - 1,3 + 7 , - 1 , - 3 2

C = ( 3 ,   - 1 ,   0 )

Achamos o centro! Pra achar o raio é só calcular a distancia do centro até um dos extremos do diâmetro! Vamos fazer até o ponto B .

R 2 = 7 - 3 2 + - 1 - - 1 2 + - 3 - 0 2

R 2 = 16 + 9

R = 5

Então a equação da esfera vai ser:

x - 3 2 + y + 1 2 + z 2 = 25

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) A interseção da esfera com o plano só pode ser uma circunferência! Pra achar o centro dela, vamos encontrar a interseção de uma reta normal ao plano que passa pelo centro da esfera. Como ela é bem retinha, vai passar também no centro da circunferência! A nossa reta vai ter vetor diretor igual ao vetor normal ao plano, e passa pelo centro da esfera:

l : X = 3 ,   - 1 ,   0 + λ 3 ,   5 ,   4

x , y , z = ( 3 + 3 λ ,   - 1 + 5 λ ,   4 λ )

Agora vamos achar a interseção dessa reta com o plano π : 3 x + 5 y + 4 z = 3 .

3 3 + 3 λ + 5 - 1 + 5 λ + 4 4 λ = 3

50 λ = - 1

λ = - 1 50

Assim, o nosso ponto vai ser:

P = 3 - 3 50 ,   - 1 - 5 50 ,   - 4 50

P = 147 50 , - 11 10 , - 2 25

Passo 3

Falta só a gente relacionar o raio da circunferência com o da esfera! Dá uma olhada aqui nessa figura: a gente consegue achar o raio da circunferência por Pitágoras, basta a gente conhecer a distância do centro até o plano!

r 2 + d 2 = R 2

A gente quer a distância do ponto C = 3 ,   - 1 ,   0 até o plano 3 x + 5 y + 4 z - 3 = 0 . Isso aí tem até fórmula!

d = 3 3 + 5 - 1 + 4 0 3 2 + 5 2 + 4 2

d = 1 50

Agora é só substituir!

r 2 + 1 50 = 25

r 2 = 25 - 1 50

r = 1249 50

Resposta

  1. x - 3 2 + y + 1 2 + z 2 = 25
  2. P = 147 50 , - 11 10 , - 2 25 , r = 1249 50

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