Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 295-2.

Verifique se a equação x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0 é a equação de uma superfície esférica. Caso seja, dê o centro e o raio.

Passo 1

Já estamos aquecendo os motores!! O enunciado nos fornece uma equação e pede para verificarmos se ela é ou não a equação de uma superfície esférica. Para isso, vamos completar quadrado e ver se chegamos numa expressão coerente.

Bora começar!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar completando os quadrados:

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 12 = 0

( x 2 - 4 x ) + ( y 2 - 2 y ) + ( z 2 + 8 z ) + 12 = 0

( x - 2 ) 2 - 4 + ( y - 1 ) 2 - 1 + ( z + 4 ) 2 - 16 + 12 = 0

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Pronto chegamos numa expressão com o mesmo jeito da equação da teoria:

( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = ρ 2

Passo 3

Agora que temos a equação, podemos retirar dela as coordenadas do centro e o raio. Assim, da expressão:

( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 + ( z + 4 ) 2 = 9

Temos que:

C = 2 ,   1 ,   - 4

ρ = 3

Prontinho!! Terminamos!! Uhuuu

Resposta

C = 2 ,   1 ,   - 4

ρ = 3

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