Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem

Sejam Equation e Equation duas transformações lineares injetivas. Mostre que Equation .

Passo 1

Para mostrar isso, devemos usar o teorema núcleo-imagem. Na transformação Equation temos:

Equation

Mas como Equation é injetiva, Equation e assim:

Equation

Na transformação Equation :

Equation

Mas como Equation é injetiva, Equation e assim:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Agora vamos estudar os casos. Em Equation sabemos que Equation , e por definição de imagem, ela está contida no contradomínio, Equation , então Equation e assim Equation .

Agora podemos fazer a mesma coisa para a Equation . Em Equation , sabemos que Equation e, por definição de imagem, ela está contida no contradomínio, Equation , então Equation e assim Equation .

Logo, podemos concluir que Equation .

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