Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

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Enunciado

(Capítulo 7.8 – Exercício 37) A Fig. 7-39 mostra a aceleração de uma partícula de 2,00   k g   sob a ação de uma força F que desloca a partícula ao longo de um eixo x , a partir do repouso, de x   =   0 a x   =   9,0   m . A escala vertical do gráfico é definida por a s   =   6,0   m / s 2 . Qual é o trabalho realizado pela força sobre a partícula até a partícula atingir o ponto (a) x   = 4,0   m , (b) x   =   7,0   m e (c) x   =   9,0   m ? Quais são o módulo e o sentido da velocidade da partícula quando ela atinge o ponto (d) x   = 4,0   m , (e) x   =   7,0   m e (f) x   =   9,0 m ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom?

Antes de mais nada precisamos lembrar que

W = F ⋅ d

Então para encontrarmos o trabalho quando temos um gráfico, basta calcular a área... MASSSSS, precisa ser um gráfico de F o r ç a   ×   D e s l o c a m e n t o .

Contudo o que temos aqui é um gráfico de A c e l e r a ç ã o   × D e s l o c a m e n t o . Mas lembra que

F = m a

Então precisaremos multiplicar pela massa ( 2,00 k g ) , que teremos a força. Beleza?

Ou seja, Basta calcular a área de gráfico correspondente ao deslocamento transformando a aceleração em força. Olha só:

a s = 6 m / s 2 ⟶ F s = 2 × 6 = 12 N

Ou seja, a escala vertical do nosso gráfico agora é dada por F s = 12 N !!

Show de bola?!

Passo 2

a) Para acharmos o trabalho realizado pela força de 0   m   até   4   m , basta acharmos a área sob o gráfico nesse intervalo . Somamos a área triangular do gráfico, de x   =   0 a x   =   1 , com a área retangular, de x   =   1 até x   =   4 .

Temos assim,

Entre x   =   0 a x   =   1 :

á r e a = 1 × 12 2 = 6

Entre x   =   1 até x   =   4 :

á r e a = 3 × 12 = 36

O resultado é W   =   42   J .

Passo 3

b) Utilizaremos um raciocínio análogo ao do item anterior: obtemos o trabalho realizado pelaforça de 0   m   até   7   m   somando as áreas de x   =   0 a x   =   7 e considerando as áreas abaixo do eixo x   como negativas, sendo assim:

Entre x = 0 m e x = 4 m temos a área calculada anteriomente. Entre x = 4 m e x = 5 m , temos

á r e a = 1 × 12 2 = 6

Entre x = 5 m   e x = 6 m temos

á r e a = 1 × ( - 12 ) 2 = - 6

Entre x = 6 m e x = 7 m temos

á r e a = 1 × ( - 12 ) 2 = - 6

Somando tudo, teremos

W = 6 + 36 + 6 - 6 - 12 = 30   J

obtemos que W   =   30   J .

Passo 4

c) Da mesma forma que nos itens anteriores, somando as áreas de   x   =   0 a x   =   9 ,

Considerando as áreas abaixo do eixo x   como negativas, obtemos

W = 6 + 36 + 6 - 6 - 24 - 6

W   =   12   J

Passo 5

d) Bom galera, para encontrar o módulo e o sentido da velocidade da partícula quando ela atinge o ponto x = 4,0 m   usaremos

W = ∆ K

Assim,

W = m v f 2 2 - m v i 2 2

Substituindo os valores,

42 = 2 v f 2 2 - 0

Logo,

v f = 6,5   m / s

Voltando ao gráfico original, da aceleração em função do deslocamento, vemos que a partícula partiu do repouso e foi acelerada apenas no sentido positivo do eixo   x ;

Assim, em x   =   4,0   m , o vetor velocidade aponta no sentido positivo do eixo   x .

Passo 6

e) Utilizando o mesmo raciocínio do passo anterior, conseguimos calcular a velocidade v   =   5,5   m / s para x   =   7,0   m .

Embora a partícula tenha sofrido uma desaceleração a partir do ponto   x   =   5 ,   0   m , o vetor velocidade continua a apontar no sentido positivo do eixo x .

Passo 7

f) Finalmente, com o mesmo raciocínio anterior, achamos que v   =   3,5   m / s para x   =   9,0   m .

Embora a partícula tenha sofrido uma desaceleração ainda maior, o vetor velocidade continua a apontar no sentido positivo do eixo x .

Resposta

  1. W   =   42   J
  2. W   =   30   J
  3. W   =   12   J
  4. v f = 6,5   m / s , sentido positivo do eixo x .
  5. v f = 5,5   m / s , sentido positivo do eixo x .
  6. v f = 3,5   m / s , sentido positivo do eixo x .

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