Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

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Enunciado

Um corpo de 1,0   k g de massa se desloca sobre um trilho horizontal plano no sentido positivo do eixo x . A força resultante que está agindo sobre o corpo tem sua componente ao longo do eixo x positivo dada por F x r e s x = 24 x - 6 x 2 com x em metros e F x r e s em Newtons. O corpo parte do repouso na posição x = 0   m e se move até entrar novamente em repouso ao final do percurso.

a) Calcule como varia o trabalho realizado pela força resultante sobre o corpo em função da sua posição W ( x ) .

b) Sabendo que a força ao longo do percurso passa de positiva para negativa, encontre o valor do trabalho na posição da transição de sinal da força.

c) Qual é o valor do trabalho total realizado sobre o corpo ao longo de todo o percurso?

d) Qual é a posição final em que o corpo entra em repouso novamente?

Passo 1

Na letra (a), queremos o trabalho dessa força em função do deslocamento.

Quando temos uma força constante F sendo aplicada num corpo, podemos calcular o trabalho dessa força com:

W F = F d c o s θ

Se essa força estiver na mesma cireção do deslocamento temos:

W F = F d c o s 0

W F = F d

Mas, e se a força variar?

Bom, aí nós temos que calcular em cada deslocamentozinho d x o trabalho que a força naquela posição F x realiza.

E para somar todos esses trabalhozinhos ao longo de um deslocamento, nós usamos a integral:

W x = ∫ F x r e s x d x

Além disso, temos que o corpo parte da posição x = 0 . Então, esse será o limite inicial da integral.

Mas e a posição final?

Geralmente o limite de cima indica a posição final, né?

Mas não queremos uma posição final específica. Queremos uma posição qualquer x .

Assim, vamos colocar o próprio x no limite de cima da integral, e teremos uma função que calcular o trabalho dessa força para qualquer que seja a posição final que quisermos calcular.

W x = ∫ 0 x F x r e s x d x

Passo 2

Agora, vamos substituir a expressão da força F x r e s x e integrar.

W x = ∫ 0 x 24 x - 6 x 2 d x

W x = 24 x 2 2 - 6 x 3 3 x 0

W x = 12 x 2 - 2 x 3 x 0

Aplicando os valores em x , temos:

W x = 12 x 2 - 2 x 3 - 12 0 2 - 2 0 3

W x = 12 x 2 - 2 x 3 - 0

W x = 12 x 2 - 2 x 3

Passo 3

Na letra (b), ele diz que a força começa positiva e passa a ser negativa.

Nesse ponto de transição, a força vale zero, certo?

Isso mesmo!

F x = 0

Queremos descobrir qual o trabalho realizado até esse ponto.

Passo 4

Então, primeiro vamos descobrir em qual posição isso acontece.

F x = 0

24 x - 6 x 2 = 0

Colocando x em evidência, temos um produto resultando emzero:

x 24 - 6 x = 0

Ou seja, necessáriamente um dos dois termos dá zero:

x = 0   m

Ou, então:

24 - 6 x = 0

x = 24 6 = 4   m

Como não queremos o ponto inicial, vamos utilizar o x = 4   m .

Passo 5

Agora que achamos a posição na qual a força troca de positiva para negativa, basta aplicar esse valor na expressão que achamos para calcular o trabalho W x :

W x = 12 x 2 - 2 x 3

W 4 = 12 4 2 - 2 4 3

W 4 = 12 16 - 2 64

W 4 = 192 - 128

W 4 = 64   J

Passo 6

Na letra (c), queremos o valor do trabalho ao longo de todo o percurso.

Bom, o percurso termina quando o corpo volta ao repouso.

Ou seja, quando sua velocidade final chega a zero:

v f = 0

Como relacionamos trabalho com velocidade?

Existe aquele Teorema Trabalho-Energia Cinética:

W R = ∆ K

Onde o trabalho da força resultante é igual a variação de energia cinética.

Bom então, o trabalho W x será igual a:

W x = K x - K 0

Mas o corpo saiu do repouso e voltou ao respouso...

Ou seja, tanto sua velocidade inicial quanto final são zero. Assim, as energias cinéticas incial e final também são nulas:

K f = K 0 = 0

Logo:

W T = 0

A ideia aqui é que o corpo estava em repouso, e quando a força começou a realizar um trabalho positivo, ele começou a ganhar velocidade.

Depois que a força inverteu de sentido e começou a realizar um trabalho negativo, ele começou a perder velocidade até parar.

Mas o trabalho total deu zero justamente porque teve que retirar toda a energia que ela mesma forneceu ao corpo, ou seja, o saldo foi zero.

Passo 7

Na letra (d), queremos saber em que posição isso acontece (o corpo volta ao repouso).

Nesse item, simplesmente vamos usar a ideia do item anterior.

Nós temos uma expressão para o trabalho total até uma certa posição x :

W x = 12 x 2 - 2 x 3

Se o trabalho total até a posição que o corpo entra em repouso é nulo, basta aplicarmos esse valor na expressão e acharmos a posição:

W x = 0

12 x 2 - 2 x 3 = 0

Colocando o x 2 em evidência, temos:

x 2 12 - 2 x = 0

Novamente, temos um produto resultando em zero, ou seja:

x 2 = 0  

x = 0

Ou então:

12 - 2 x = 0

x = 12 2 = 6   m

Como a posição inicial é o x = 0 . O corpo voltará ao repouso quando ele atingir o segundo ponto x = 6   m .

Resposta

(a)

W x = 12 x 2 - 2 x 3

(b)

W 4 = 64   J

(c)

W T = 0

(d)

x = 6   m

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