Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

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Enunciado

Uma mola, ao ser comprimida, tem uma resposta não-linear, dada por uma força F x = - a x - b x 2 (errata), onde os coeficientes são a = 0,4   N / m e b = 2   N / m 2 . Partindo da posição de máxima compressão x m , a mola realiza trabalho W sobre um corpo até atingir a posição x = 0   m . Os valores de x m e W são, respectivamente,

(a) x m = - 0,1   m ; W = 4 3   m J .

(b) x m = - 0,1   m ; W = - 4 3   m J .

(c) x m = - 0 , 2   m ; W = - 16 3   m J .

(d) x m = - 0 , 2   m ; W = 16 3   m J .

(e) x m = - 0,1   m ; W = 2   m J .

Passo 1

Mola não-linear...

Calma, sem desespero.

As molas lineares tem uma expressão para a força que sempre segue a relação F x = k x , ou seja quanto maior a deformação, maior é a força da mola proporcionalmente.

A questão fala que a mola é não linear, mas dá pra gente a expressão da força F da mola em função da deformação x , F x = - a x - b x 2 .

Se a gente substituir os valores de a e b , ficamos com:

F x = - 0,4 x - 2 x 2   N

Queremos saber tanto a compressão máxima da mola x m quanto o trabalho W que ela realiza num corpo desde x m à posição sem deformação x = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a compressão máxima da mola.

Pra você entender melhor, dá uma olhada no gráfico da força da mola F ( x ) (vertical) pela deformação x (horizontal).

F x = - 0,4 x - 2 x 2

Em x = 0 , a mola está em seu estado normal (sem deformação).

Quando x é negativo significa que ela comprime, já um x positivo significa que ela distende.

Como o enunciado fala de compressão, vamos focar na parte de x negativo:

Tá vendo que existe um ponto alí onde a força é máxima? Se continuarmos comprimindo a mola, essa força diminui, certo?

Podemos pensar que a partir desse ponto, a mola para de funcionar da maneira que ela deveria. Ou seja, provelmente, houve uma certa deformação permanente.

Então, vamos considerar que aquele ponto de força máxima é o ponto de compressão máxima.

Como achamos esse ponto de máximo da parábola?

Podemos fazer isso derivando a função F ( x ) e igualando a zero. Pois o ponto de inclinação nula ( F ' x = 0 ) vai ser esse vértice da parábola.

F x = - 0,4 x - 2 x 2

F ' x = - 0,4 - 4 x

Em x m :

F ' x m = 0

- 0,4 - 4 x m = 0

4 x m = - 0,4

x m = - 0,1   m

Então, o ponto de compressão máxima x m vai ser em - 0,1   m .

Passo 3

Agora que já sabemos x m = - 0,1   m , vamos calcular o trabalho W em um corpo, desse ponto até x = 0 .

Como a força varia ao longo do movimento, não vai ter como fugir. Temos que usar a famosa integral e somar cada trabalhozinho da força F ( x ) em cada deslocamentozinho d x :

W = ∫ F x d x

E já sabemos que o trajeto vai de x m = - 0,1 até x = 0 . Então, os limites de integração ficam:

W = ∫ - 0,1 0 F x d x

W = ∫ - 0,1 0 - 0,4 x - 2 x 2 d x

W = - 0,4 x 2 2 - 2 x 3 3 0 - 0,1

W = - 0,2 x 2 - 2 x 3 3 0 - 0,1

W = - 0,2 0 2 - 2 0 3 3 - - 0,2 - 0,1 2 - 2 - 0,1 3 3

W = 0 - - 2 0,001 + 2 3 0,001

W = - - 4 3 0,001

W = 4 3 m J

Assim, achamos o trabalho W = 4 / 3   m J e x m = - 0,1   m . Logo, a alternativa correta é (a).

Resposta

Letra (a)

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