Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

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Enunciado

A única força horizontal que age sobre uma partícula de 2,0 kg movendo-se na direção x é representada na figura abaixo. Na posição x i a partícula tem velocidade v i =   4 m / s no sentindo positivo do eixo x.

a) Qual o trabalho realizado pela força F → ( x ) para mover a partícula de x i a x f ?

b) Qual a velocidade da partícula na posição x f ?

c) Considere que após a posição x f a força F → ( x ) deixa de agir na partícula e a superfície torna-se áspera. Os coeficientes de atrito estático e cinético da superfície são µ e =   0,9 e µ c = 0,6 . Calcule a força de atrito que age sobre a partícula.

d) Qual é a velocidade da partícula em x   =   21 m ?

Passo 1

a) Vamos começar!

Bem! Nesse primeiro item, temos que descobrir o trabalho realizado pela força F → ( x ) para mover a partícula de x i a x f !

Um bom jeito de se obter o trabalho de uma força quando se tem um gráfico, é calcular a área da força sobre o gráfico! Só que a gente nem sabe quanto vale essa força ou qual a expressão pra ela!

Outra forma de descobrir isso, é usando o teorema trabalho energia cinética. Basicamente, ele diz que...

W F x = ∆ K = 1 2 m ( v f 2 - v i 2 )

Mas a gente não tem v f ! Então, vamo ter que tirar um coelho da cartola pra resolver essa letra aqui!

Que tal a gente usar uma série de retângulos pra tentar aproximar a área da força no gráfico! Mais ou menos nesse naipe aqui...

Epa! Aí sim! Com isso, a gente já é capaz de determinar o trabalho da força F x !

Ele vai ser dado por...

W F x = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 + A 7 + A 8

W F x = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 7

W F x = 86   J

b) E pelo teorema do trabalho energia cinética, podemos determinar a velocidade da partícula na posição final x f ...

W F x = 1 2 m ( v f 2 - v i 2 )

86 = 2 2 ( v f 2 - 4 2 )

86 = v f 2 - 16

v f 2 = 102

v f = 102   m / s ≅ 10,1   m / s

Passo 2

c) Bora pro próximo item!

Se liga! Quando a força F x para de agir em x f ela vale aproximadamente uns 6   N !

Com os coeficientes de atrito que nós temos, as forças de atrito cinético e estático vão ser iguais à...

f c = m g μ c = 11,76   N

f e = m g μ e = 17,64   N

Ou seja! Podemos ver que as duas forças são maiores que a força agindo sobre o bloco!

Só que como a força parou de agir sobre o bloco e ele já tá com uma determinada velocidade, então é preferível optar pelo força de atrito cinético.

f = 11,76   N

Passo 3

d) Por último, falta ver a velocidade do bloco em x = 21   m !

Quando a força para de agir sobre o bloco em x f , ele vai estar exposto a uma aceleração que vai retardar seu movimento! E essa aceleração vale...

∑ f = m a

m a = m g μ c

a = g μ c = 9,8 ⋅ 0,6

a = 5,88   m / s 2   ←

Assim, basta aplicar a equação de Torricelli, que podemos obter a velocidade quando x = 21   m :

v x = 21   m 2 = v f 2 - 2 a ∆ x

Onde ∆ x é o espaço percorrido pela partícula, que no caso vai valer...

∆ x = 21   m - x f = 21   m - 18   m

∆ x = 3   m

Logo;

v x = 21   m 2 = v f 2 - 2 a ∆ x

v x = 21   m = v f 2 - 2 a ∆ x

v x = 21   m = 102 - 2 ⋅ 5,88 ⋅ 3

v x = 21   m = 8,168   m

Resposta

a)

W F x = 86   J

b)

v f = 102   m / s ≅ 10,1   m / s

c)

f = 11,76   N

d)

v x = 21   m = 8,168   m

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