Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

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Enunciado

Uma força F → = ( 6   i - 2   j )   N age sobre uma partícula que realiza um deslocamento Δ r → = ( 3 i + 1   j )   m . Encontre F → ,   Δ r → e o ângulo entre F → e r → .

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu dois vetores

F → = ( 6   i - 2   j )

Δ r → = ( 3 i + 1   j )

E pediu para calcularmos os módulos de cada um deles e o ângulo entre eles

Bom, para calcular o módulo de um vetor qualquer v → = a i ^ + b j ^ é só aplicar essa relação entre as componentes:

v → = a 2 + b 2

E o ângulo? Bom, podemos usar a fórmula do produto escalar entre dois vetores! Saca só! O produto escalar entre dois vetores u → e v → quaisquer é:

u → ⋅ v → = u → v → c o s θ

Envolve o produto dos módulos (já que vamos calcular os módulos de qualquer jeito, é interessante a gente usar essa aqui né?)

E aquele u → ⋅ v → ? É só multiplicar componente a componente dos dois vetores (i com i, j com j)! Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular o módulo dos vetores dados! Começando pelo módulo do vetor força:

F → = ( 6   i - 2   j )

F → = 6 2 + - 2 2 = 36 + 4 = 40

Agora o vetor deslocamento:

Δ r → = ( 3 i + 1   j )

Δ r → = 3 2 + 1 2 = 10

Tranquilo? Agora vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores?

Passo 3

O produto escalar entre dois vetores é:

u → ⋅ v → = u → v → c o s θ

E entre os vetores força e deslocamento fica:

F → ⋅ Δ r → = F → Δ r → c o s θ

Os módulos nós já calculamos F → = 40

Δ r → = 10

Agora falta F → ⋅ Δ r →

É só fazer a multiplicação componente a componente:

F → ⋅ Δ r → = 6 , - 2 ⋅ 3,1 = 6 . 3 + - 2 . 1 = 18 - 2 = 16

Agora é só substituir:

F → ⋅ Δ r → = F → Δ r → c o s θ

16 = 40 10 c o s θ

c o s θ = 16 400

c o s θ = 16 20

θ = arccos ⁡ 0,8 = 36,87 °

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

F → = 40

Δ r → = 10

θ = 36,87 °

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