Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 192 – 31.

Perto de sua cabana de férias há uma caixa d’água solar (preta) usada para aquecer a água de um chuveiro externo. Por alguns dias, no último verão, a bomba estragou e você teve que, pessoalmente, carregar a água do açude até a caixa, 4,0 m acima. Seu balde tem uma massa de 5,0 k g e comporta 15,0 k g de água, quando cheio. No entando, o balde tem um furo e, enquanto você o elevava verticalmente com uma rapidez constante v , a água escapava com uma taxa constante. Ao atingir o topo, apenas 5,0 k g de água restavam.

  1. Escreva uma expressão para a massa do balde mais água, como função da altura acima da superfície do açude.
  2. Encontre o trabalho que você realiza sobre o balde para cada 5,0kg de água despejada no tanque.

Passo 1

Bom, aqui está você, em sua cabana de férias,

quando você tem que carregar água para a caixa. O que vai acontecer é que mais uma vez a força vai depender do deslocamento, como vamos ver a seguir, e vamos precisar integrar a expressão mais uma vez!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a)

Para calcular a massa do balde já sabemos que ela tem que ser uma reta, porque ele disse no enunciado que a água cai a uma taxa constante, certinho? E já da pra sacar que a constante é negativa, porque no final ele vai ter uma quantidade água menor que no inicio

m b a l d e ( x ) = a x + b

Como ele quer a partir da superfice do açude, sabemos que quando a altura é zero, o balde tem 5 k g além dos 15 k g da água

x = 0 → m = 20 k g

m b a l d e ( 0 ) = a 0 + b

m b a l d e ( 0 ) = 20 k g = b

Quando você está 4 metros acima, só tem mais 5 k g de água

m b a l d e = 5 k g á g u a + 5 k g b a l d e = 10 k g

m b a l d e 4 = a 4 + 20 k g

10 k g = 4 a + 20 k g

a = - 2,50 k g

Juntando os valores que encontramos temos a expressão:

m b a l d e x = 20 k g - 2,50 k g m x

Passo 3

Alternativa b)

Agora ele quer saber o trabalho que eu faço pra cada vez que eu vou lá e encho a caixa d’água. E pra encher a caixa d’água eu vou da posição 0 até a posição 4 certo?

Mas qual força eu to fazendo? Eu to dando energia potencial pra água, to subindo ela

F → = m g

Só que como a massa ta variando vamos ter:

W =   ∫ 0 m 4,0 m m g . d x →  

Aquele g ali é constante, né? Bota ele pra fora!

W = g ∫ 0 m 4,0 m 20 k g - 2,50 k g m x

W = g 20 x - 2,50 x 2 2 0 4 m

W = 9,81 20.4 - 2,50 4 2 2 - 20.0 - 2,50 0 2 2

W = 588,6 J

Sempre que a força depender de x vamos ter que integrar para achar o trabalho!

Resposta

m b a l d e x = 20 k g - 2,50 k g m x

W = 588,6 J

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