Exercícios Resolvidos de Trabalho de uma Força Variável

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Enunciado

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Uma partícula de massa 2   k g move-se ao longo do eixo x . A sua aceleração em função da posição é dada pelo gráfico abaixo. O trabalho da força resultante sobre a partícula entre as posições x = 1   m e x = 7   m é igual a … J .

Passo 1

Temos o gráfico da aceleração a x em função da posição x e queremos o trabalho da força resultante.

Eita, como a gente relaciona essas coisas?

Vamos começar com o trabalho...

Sabemos que o trabalho é dado pela força média F m multiplicada pelo deslocamento ∆ x :

W F = F m ∆ x

Entretanto, não sabemos o valor médio da força ao longo do deslocamento, então temos que calcular a partir de uma integral:

W F = ∫ F x d x

Onde F x é a força em cada posição x e d x é um deslocamentozinho que chamamos de infinitesimal.

A integral é apenas um somatório do trabalho realizado em cada deslocamentozinho d x pelo valor da força F x que atuava naquela posição.

Até aí okay, mas lembra que temos um gráfico da aceleração e não da força?

Ahhh, então falta um detalhe...

Passo 2

A força aplicada sobre um corpo e a aceleração sofrida por ele são proporcionais. Sabe aquela tal da segunda lei de Newton?

F = m a

Então, podemos dizer que o valor da força F x em cada posição x é igual à:

F x = m a x

Passo 3

Então, podemos calcular o trabalho a partir de:

W F = ∫ F x d x

W F = ∫ m a x d x

Agora, já está fazendo mais sentido...

Como a massa é sempre a mesma, ela é uma constante e pode sair da integral:

W F = m ∫ a x d x

Além disso, queremos o trabalho em um deslocamento de x = 1   m até x = 7   m . Assim, vamos integrar de 1 até 7 no gráfico:

W F = m ∫ 1 7 a x d x

Vamos calcular isso aí.

Passo 4

A integral de uma função pode ser calculada pela área abaixo do gráfico.

Ou seja, basta nós calcularmos essa área aqui:

Lembrando que a área acima do eixo x (em verde) entra como positiva, e a área abaixo do eixo x (em vermelho) entra como negativa.

Então, a integral será:

∫ 1 7 a x d x = A 1 - A 2

Vamos calcular cada uma delas, agora.

Passo 5

A área A 1 será um triângulo semelhante àquele entre x = 0 e x = 2   m .

Como sua base vale metade do outro triângulo (base igual a 2), sua altura também será metade da do outro triângulo (altura igual a 2).

Assim, a área A 1 será a área de um triângulo de base igual a 1 e altura igual a 1 também:

A 1 = b × h 2

A 1 = 1 × 1 2

A 1 = 1 2

Já a área A 2 é a área de um trapézio:

A 2 = B + b h 2

Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura.

Além disso, como a reta é simétrica com relação ao eixo x , como de x = 0 a x = 2 a altura desce 2 unidades, de x = 2 a x = 4 , a altura desce mais 2 unidades, então:

B = 7 - 2 = 5 b = 7 - 4 = 3 h = 2

A área A 2 será:

A 2 = 5 + 3 2 2

A 2 = 8

Então, achamos o valor da nossa integral:

∫ 1 7 a x d x = A 1 - A 2

∫ 1 7 a x d x = 1 2 - 8

∫ 1 7 a x d x = - 15 2

Passo 6

Já calculamos a integral, agora, podemos calcular o trabalho:

W F = m ∫ 1 7 a x d x

W F = 2 - 15 2

W F = - 15   J

Então o trabalho da partícula será de 15   J .

Resposta

- 15   J

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