Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Um avião que se encontra a uma distância de 10   k m de um transmissor de rádio recebe um sinal com uma intensidade de 10   μ W / m 2 .

Determine a amplitude:

  1. Do campo elétrico associado ao sinal na posição do avião.
  2. Do campo magnético associado ao sinal na posição do avião.
  3. Se o transmissor irradia uniformemente ao longo de um hemisfério, qual é a potência da transmissão?

Passo 1

Letra a)

Para calcular o campo elétrico associado ao sinal, podemos usar a Intensidade do mesmo. A intensidade é dada por:

I = 1 2 E m á x B m á x μ 0

Mas como E = c B , podemos reescrever:

I = 1 2 E m á x 2 μ 0 c

E m á x = 2 I ∙ μ 0 ∙ c

μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo, e vale 4 π ∙ 10 - 7 N / A 2 , c é a velocidade da luz 3 ∙ 10 8   m / s e I é a intensidade dada no enunciado 10   μ W / m 2 = 10 ∙ 10 - 6 W / m 2 .

E m á x = 2 ∙ ( 10 ∙ 10 - 6 ) ∙ 4 π ∙ 10 - 7 ∙ 3 ∙ 10 8 ≅ 86,83 ∙ 10 - 3 V / m = 8,683 ∙ 10 - 2 V / m  

Passo 2

Letra b)

Tem duas formas de calcular o campo magnético. Uma é aproveitando a nossa resposta da letra (a), e usando a relação E = c B . A outra, é fazendo exatamente o que fizemos antes, mas escrevendo a intensidade como função do campo magnético.

Vamos seguir a segunda forma.

Já sabemos a fórmula da intensidade (tem na letra anterior), e agora usando a nossa relação mágica E = c B , teremos:

I = 1 2 c B m á x 2 μ 0

B m á x = 2 I ∙ μ 0 c

Novamente, μ 0 é a permeabilidade magnética no vácuo, e vale 4 π ∙ 10 - 7 N / A 2 , c é a velocidade da luz 3 ∙ 10 8   m / s e I é a intensidade dada no enunciado 10   μ W / m 2 = 10 ∙ 10 - 6 W / m 2 .

B m á x = 2 ∙ ( 10 ∙ 10 - 6 ) ∙ 4 π ∙ 10 - 7 3 ∙ 10 8 ≅ 28,94 ∙ 10 - 11 T = 2,894 ∙ 10 - 10 T

Passo 3

Letra c)

Sabemos que a intensidade da luz varia com a área na qual a luz se espalha. Assim, indo do início, a potência é:

P = ∮ S → ∙ d A →

Considerando o fluxo sempre paralelo ao vetor normal da área, e usando o fluxo médio (intensidade):

P = S m é d ∮ d A = I ∙ ∮ d A

P = I ∙ A

O enunciado nos diz que o sinal é irradiado ao longo de um hemisfério, ou seja, metade de uma esfera. A área da esfera é:

A e s f = 4 π r 2

Logo, a do hemisfério será metade disso:

A h e m i s f = 2 π r 2

A potência será

P = I ∙ 2 π r 2

A distância da fonte ao nosso avião é de 10   k m , o que nos diz que estamos considerando que a luz se espalhou por um hemisfério com um raio de 10   k m = 10 ∙ 10 3 m .

A intensidade também é dita no enunciado, I = 10   μ W / m 2 = 10 ∙ 10 - 6   W / m 2

P = 10 ∙ 10 - 6 ∙ ( 2 π ∙ 10 ∙ 10 3 2 )

P = 10 - 5 ∙ 2 π ∙ 10 8

P ≅ 6 , 28 ∙ 10 3   W

Resposta

Letra a)

E m á x ≅ 8,683 ∙ 10 - 2 V / m

Letra b)

B m á x ≅ 2,894 ∙ 10 - 10 T

Letra c)

P ≅ 6,28 ∙ 10 3   W

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