Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

4 – O campo elétrico de uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo é dado por E → = E 0 s e n k z - c t î .

a) Determine o vetor campo magnético desta onda.

b) Determine o vetor de Poynting desta onda.

c) Considerando que a onda incide normalmente sobre um disco perfeitamente absorvedor de raio R , calcule a energia transferida ao disco durante um intervalo de tempo correspondente a 2 periodos. Expresse sua resposta em termos das grandezas dadas acima.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos apenas uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo e seu campo elétrico é descrito pela equação E → = E 0 s e n k z - c t i .

Com essas informações temos que obter algumas respostas sobre essa onda.

Primeiro, no item a), temos que determinar o vetor campo magnético da onda.

Segundo, no item b), temos que obter o vetor de Poynting da onda.

E por último, no item c), temos que obter a energia transferida para um disco perfeitamente absorvente de raio R em um intervalo de tempo de dois períodos da onda.

Parece simples? Como podemos fazer isso? 🤔🤔

Na primeira pergunta vamos usar a propriedade de propagação da onda que diz que a velocidade c da onda eletromagnética é igual a razão entre o valor absoluto do campo elétrico e o valor absoluto do campo magnético.

Na segunda pergunta vamos obter o vetor de Poynting S → usando sua relação com o vetor campo elétrico e o vetor campo magnético.

E na terceira pergunta vamos usar a ideia de intensidade de radiação para obter a resposta.

Preparado? 🤩

Passo 2

Para determinar o campo magnético da onda, temos que ter em mente uma propriedade que diz que a direção de propagação da onda, o seu campo elétrico e seu campo magnético seguem a regra da mão direita.

Uma equação muito interessante diz que c = E 0 B 0

Logo, vemos que

B 0 = E 0 c

Como o campo elétrico propaga na direção i , o campo magnético deve propagar na direção j já que pela equação c propaga em z positivo.

Então se B → = B 0 s e n k z - c t j , temos

B → = E 0 c s e n k z - c t j

Entendeu essa parte? 😎

Passo 3

Na segunda pergunta, vamos obter o vetor de Poynting S → através da sua formulinha

S → = E → × B → μ 0

Calculando o produto vetorial entre E → e B → , de forma matricial, temos

E → × B → = i j k E 0 s e n k z - c t 0 0 0 E 0 c s e n k z - c t 0

E → × B → = E 0 s e n k z - c t · E 0 c s e n k z - c t k

Como s e n a · s e n a = s e n 2 a , vamos obter

E → × B → = E 0 2 c s e n 2 k z - c t k

Substituindo em S →

S → = E 0 2 c s e n 2 k z - c t k μ 0

S → = E 0 2 μ 0 c s e n 2 k z - c t k

Assim encontramos o vetor de Poynting S → e veja que ele deve apontar no sentido de propagação da onda!

Interessante, não é? 😁

Passo 4

Por último, vamos encontrar a energia absorvida pelo disco através da intensidade da onda.

I = U A ∆ t

Onde I é a intensidade, U é a energia da onda, A é a área de absorção e ∆ t é o intervalo de tempo.

Podemos calcular a intensidade I como

I = E 0 2 2 c μ 0

Igualando as duas equações, temos

U A ∆ t = E 0 2 2 c μ 0

Isolando a energia U da onda

U = E 0 2 A ∆ t 2 c μ 0

Mas espera aí! O que é A e ∆ t dado que nosso objeto absorvente é um disco de raio R e é exposto num intervalo de tempo de dois períodos de onda.

A área superior de um disco é o mesmo que a área do círculo, ou seja

A = π R 2

Está acompanhando? 😉

Passo 5

Resta apenas encontrar ∆ t , se o disco é exposto em um intervalo de dois períodos de onda, temos

∆ t = 2 T

Lembra que o período de uma onda é dada pelo comprimento de onda dividido pela velocidade da onda T = λ V ?

O comprimento de onda, por sua vez, é dado por 2 π k e a velocidade da onda eletromagnética é dada por c

Fazendo essas substituições em T , vamos obter

T = 2 π k c = 2 π c k

Substituindo em ∆ t ...

∆ t = 2 T

∆ t = 2 2 π c k

∆ t = 4 π c k

Agora sim! Substituindo A e ∆ t em U , temos

A = π R 2 ∆ t = 4 π c k → U = E 0 2 A ∆ t 2 c μ 0

U = E 0 2 π R 2 4 π c k 2 c μ 0

Simplificando...

U = 2 E 0 2 π 2 R 2 c 2 k μ 0

Expressão estranha, não é?

Mas a energia que o disco absorve da onda é isso aí, acredita? 👀

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A) B → = E 0 c s e n k z - c t j

B) S → = E 0 2 μ 0 c s e n 2 k z - c t k

C) U = 2 E 0 2 π 2 R 2 c 2 k μ 0

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