Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética tem uma frequência 265 M H z e se propaga no vácuo, com campo magnético B z , t = 5 × 10 - 8 cos ⁡ k z - ω t T i ^ . O eixo z tem direção k ^ e o eixo x tem direção i ^ . Qual das alternativas abaixo corresponde ao vetor de Poyting e o valor médio do vetor de Poyting (I)? Use a velocidade da luz c = 3 × 10 8 m / s e a permeabilidade magnética μ 0 = 4 π × 10 - 7 N / A 2 para dar a resposta do módulo do vetor de Poyting e o valor médio do vetor de Poynting em m W / m 2 , e outras quantidades físicas relacionadas à onda eletromagnética em unidades S I . [Considere nas alternativas que os números no argumento da função estão nas unidades m - 1 e 10 8 s - 1 para as variáveis z e t respectivamente].

  1. Nenhuma das alternativas;
  2. S = 197 , cos 2 ⁡ ( 5,6 z - 16,7 t ) se propagando no sentido do eixo z negativo e I = 197,0
  3. S = 197,0 cos 2 ⁡ ( 0,9 z - 2,6 t ) se propagando no sentido do eixo z positivo e I = 98,5
  4. S = 596,8 cos 2 ⁡ ( 2,9 z - 2,6 t ) se propagando no sentido do eixo z positivo e I = 298,4
  5. S = 596,8 cos 2 ⁡ ( 5,6 z - 16,7 t ) se propagando no sentido do eixo z negativo e I = 596,8
  6. S = 596,8 cos 2 ⁡ ( 5,6 z - 16,7 t ) se propagando no sentido do eixo z positivo e I = 298,4
  7. S = 197,0 cos 2 ⁡ ( 5,6 z - 16,7 t ) se propagando no sentido do eixo z positivo e I = 98,5

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Vamos começar listando os dados que o problema nos trás:

  B z , t = 5 × 10 - 8 cos ⁡ k z - ω t T i ^

f = 265 M H z

c = 3 × 10 8 m / s

μ 0 = 4 π × 10 - 7 N / A 2

O módulo do vetor de Poynting é calculado assim:

S m = E B μ 0

Mas não temos o campo elétrico, apenas o magnético. Então vou usar a relação E = B c e achar S em função dos dados que temos:

S m = B 2 c μ 0

E substituindo os valores temos:

S m = 5 × 10 - 8 2 . 3 × 10 8 4 π × 10 - 7 = 596,8 m W / m 2

E o valor médio do vetor de Poynting é:

I = S m 2 = 596,8 2 = 298,4 m W / m 2

Passo 2

Agora a partir da frequência f   podemos encontrar ω e o vetor de onda k :

ω = 2 π f = 2 π . 265 × 10 6 = 1665,04 × 10 6 = 16,7 × 10 8 r a d / s

E o vetor de onda:

k = 2 π f c = 2 π 265 × 10 6 3 × 10 8 = 16,65 × 10 8 3 × 10 8

k = 5,6 m - 1

Passo 3

Por fim vou juntar todas essas informações e montar o vetor de Poynting:

S = S m 2 cos 2 ⁡ ( k z - ω t )

S = 298,4 cos 2 ⁡ ( 5,6 z - 16,7 t )

Considerando que:

I = 298,4

E quanto ao sentido? Vamos dar uma olhadinha para o argumento do campo magnético:

k z - ω t

Para termos essa expressão constante vamos pensar assim: com o passar do tempo, ou seja, t > 0 , o valor de – ω t fica cada vez mais negativo, então para contrabalançar isso, precisamos que k z seja sempre maior. E a única forma disso acontecer é se a variável z que aumentar. Então essa onda se propaga no sentido positivo z , ao longo do vetor unitário k ^

Portanto a resposta correta é a letra (f).

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

( f )

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