Enunciado

Uma onda eletromagnética plana monocromática que se propaga no vácuo possui um campo elétrico descrito pela expressão E → z , t = E 0 sen ⁡ 2 π a z + b t i ^ onde a e b são constantes positivas.

a ) Determina a direção e o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda e a frequência da onda em função das constantes a e b .

b ) Qual relação deve haver entre a e b para que E → z , t satisfaça a equação de onda da luz se propagando no vácuo?

c ) Determine o vetor B → em função de E 0 , a , b e da velocidade da luz no vácuo c .

d ) Calcule o vetor de Poynting instantâneo e a densidade de energia média desta onda.

Passo 1

a ) Determina a direção e o sentido de propagação da onda. Calcule o comprimento de onda e a frequência da onda em função das constantes a e b .

Vamos começar desorganizando um pouco as coisas e escrevendo o campo elétrico como:

E → z , t = E 0 sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t i ^

Como a coordenada z aparece dentro do argumento do seno, já podemos tirar daí que a onda se propaga da direção do eixo z .

Mas como saber se ela se propaga no sentido + k ^ ou - k ^ ?!

Uma coisa que sempre me ajudou foi o seguinte, tenta imaginar que o sinal é sempre “do contra”, ou seja, se a onde de propaga no sentido + z ^ , o sinal vai ser negativo. Se a onde se propaga no sentido - z ^ , o sinal vai ser positivo.

Mas, na real, o que acontece é o seguinte.

Esse cosseno sempre é escrito como cos ⁡ ( k z - ω t ) (para o caso da onda se propagando na direção z )... mas se a onda estiver se propagando no sentido - k ^ , o argumento do cosseno seria escrito como:

cos ⁡ - k z - ω t

Mas tem uma propriedade do cosseno que diz que

cos ⁡ - x = cos ⁡ x

Logo:

cos ⁡ - k z - ω t = cos ⁡ k z + ω t

Portanto, se a onde se propaga no sentido - k ^ , o argumento será k z + ω t . E vice-versa... entendeu?

Resumindo, essa onda se propaga no sentido - k ^ .

Passo 2

A função de campo elétrico E → z , t de uma onda que se propaga no sentido - k ^ tem essa cara:

E → z , t = E 0 sen ⁡ k z + ω t i ^

Comparando com a função que o problema nos deu, teremos:

E → z , t = E 0 sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t i ^

k = 2 π a

ω = 2 π b

A partir daqui podemos calcular o comprimento de onda e a frequência.

k = 2 π λ = 2 π a

λ = 1 a

ω = 2 π f = 2 π b

f = b

Passo 3

b ) Qual relação deve haver entre a e b para que E → z , t satisfaça a equação de onda da luz se propagando no vácuo?

A equação de onda é dada por:

∂ 2 E → ∂ z 2 = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2

O nosso trabalho então é substituir a expressão de E → aqui, calculando as derivadas parciais.

- 4 π 2 a 2 E 0 sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t = - 1 c 2 4 π 2 b 2 E 0 sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t

Daqui podemos simplificar quase tudo, sobrando apenas:

a 2 = b 2 c 2

Finalmente:

a = b c

Passo 4

c ) Determine o vetor B → em função de E 0 , a , b e da velocidade da luz no vácuo c .

Agora vamos precisar relembrar algumas coisas... a primeira delas é que o campo magnético, o campo elétrico e a direção de propagação da onda são perpendiculares. Logo, se a onda se propaga no sentido - k ^ e o campo elétrico se propaga no sentido i ^ , o campo magnético se propaga na direção y ... só temos que descobrir se é no sentido j ^ ou - j ^ .

Outro detalhe importante é que o produto vetorial E → × B → vai apontar no sentido de propagação da onda... logo, só temos que ver qual dos dois vai resolver a nossa vida.

i ^ × j ^ = k ^

i ^ × -   j ^ = - k ^

Logo, o campo magnético se propaga na direção - j ^ . Isso significa que ele vai ter essa cara:

B → z , t = - B 0 sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t j ^

Pra finalizar, podemos dizer que:

B 0 = E 0 c

Finalmente:

B → z , t = - E 0 c sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t j ^

Passo 5

d ) Calcule o vetor de Poynting instantâneo e a densidade de energia média desta onda.

Por definição o vetor de Poynting é dado por:

S → = E → × B → μ 0

Logo:

S → = 1 μ 0 E 0 sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t i ^ × - E 0 c sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t j ^

S → = E 0 2 μ 0 c sen 2 ⁡ 2 π a z + 2 π b t i ^ × - j ^

S → = - E 0 2 μ 0 c sen 2 ⁡ 2 π a z + 2 π b t k ^

Passo 6

A densidade de energia é obtida através da relação:

u = E 2 μ 0 c 2

Como E é uma função senoidal, a densidade de energia média está relacionada ao valor quadrático médio de E , logo:

u m = E 0 2 2 μ 0 c 2

Resposta

a )

A onda se propaga no sentido - k ^ .

λ = 1 a

f = b

b )

a = b c

c )

B → z , t = - E 0 c sen ⁡ 2 π a z + 2 π b t j ^

d )

S → = - E 0 2 μ 0 c sen 2 ⁡ 2 π a z + 2 π b t k ^

u m = E 0 2 2 μ 0 c 2

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