Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda plana eletromagnética linearmente polarizada, propagando-se no vácuo no sentido positivo do eixo z, tem comprimento de onda λ   = 628   n m e intensidade I = 53,4   W m 2 .

(a)Se a direção de polarização da onda faz 45° com o eixo y, determine a expressão do campo elétrico em função do tempo e do espaço (a menos de uma fase constante).

Passo 1

Para determinarmos o valor do campo elétrico precisamos antes de tudo nos lembrar de como escrevemos ele, para isso devemos nos lembrar da fórmula

E → = E 0 .   S e n ( K x -   ω t ) n ^

Mas temos que tomar um cuidado, o coeficiente K sempre multiplica a variável que está na direção da propagação da nossa onda, e no enunciado foi dito que essa direção é a Z, logo teremos que

E → = E 0 .   S e n ( K Z -   ω t ) n ^

Passo 2

Outra coisa que precisamos determinar na nossa equação é o valor de n ^ , para isso temos que analisar os valores dados no enunciado.

É dito que a nossa onda polarizada tem o seguinte aspecto

Dessa forma podemos escrever o nosso vetor unitário em função de x e y da seguinte maneira

n ^ = Cos ⁡ 45 ° x ^ + S e n   45 ° y ^

Como tanto o valor de S e n   45 ° = C o s 45 ° = 2 2 teremos que

n ^ = 2 2 x ^ + 2 2 y ^

Agora só precisamos determinar o valor de E 0 , K   e ω

Passo 3

Agora temos que saber que o nosso número de onda K pode ser determinado através da fórmula

λ = 2 π K

e que a nossa frequência angular pode ser definida pela fórmula

ω = K C

Sabemos pelo enunciado e pelo formulário que

λ   = 628   n m = 628   .   10 - 9 m

C   = 3   .   10 8   m s

Calculando primeiro o fator de onda teremos que

K = 2 π λ = 2 π 628   .   10 - 9   = 10 7 R a d m

Calculando agora o valor da frequência angula teremos que

ω = 10 7   .   3   .   10 8 = 3   .   10 15 R a d s

Calculando isso, falta apenas o valor de E 0 , mas como faremos para calcular esse valor?

Passo 4

Aqui termos que lembrar de uma fórmula muito importante que relaciona a amplitude do nosso campo elétrico e a intensidade da onda que foi dada no nosso enunciado, e essa fórmula é exatamente

I = E 0 2 2 μ 0 C

Isolando teremos que

I = E 0 2 2 μ 0 C

E 0 2 = 2 μ 0 C I

Sabemos que

μ 0   .   ε 0 = 1 C 2

Isolando μ 0 teremos que

μ 0 = 1 C 2 .   ε 0

Substituindo na equação teremos que

E 0 2 = 2 1 C 2 .   ε 0 C I

E 0 2 = 2 I C .   ε 0

Sabemos que

I = 53,4   W m 2

C   = 3   .   10 8   m s

ε 0 = 8,9   .   10 - 12 C 2 N m 2

Substituindo

E 0 2 = 2   .   53,4   3   .   10 8   .   8,9   .   10 - 12 = 40000

Logo teremos que

E 0 = 200 V m

Passo 5

Agora que temos todas as fórmulas basta que substituamos tudo na fórmula inicial, assim teremos que

E → = 200 .   S e n ( 10 7 . Z -   3   .   10 15 . t ) ( 2 2 x ^ + 2 2 y ^ )

E → = 141 .   S e n ( 10 7 . Z -   3   .   10 15 . t ) ( x ^ + y ^ )

Resposta

E → = 141 .   S e n ( 10 7 . Z -   3   .   10 15 . t ) ( x ^ + y ^ )

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