Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana de comprimento de onda 10,0 cm se propaga no vácuo com velocidade no sentido positivo do eixo x. O campo de indução magnética oscila no eixo OZ com valor máximo de 8,00 x 10 - 7 Tesla.

(a) Calcule os valores do número de onda k e da frequência angular ω. Escreva a função do vetor campo de indução magnética B z ( x , t ) na forma senoidal em termos dos dados fornecidos. Considere a constante de fase nula.

(b) Determine a função do vetor campo elétrico E y ( x , t ) , sabendo que E → = c . B → x n →   , onde x designa o produto vetorial e n →   designa o vetor unitário na direção da velocidade da onda (cujo módulo é c).

(c) Encontre a função do vetor de Poynting S(x,t) e a intensidade (I) dessa onda.

Passo 1

Antes de começar esse exercício vamos relembrar as principais fórmulas que temos que lembrar para resolver esse tipo de problema.

Primeiro temos que saber que o nosso numero de onda K pode ser determinado através da fórmula

λ = 2 π K

e que a nossa frequência angular pode ser definida pela fórmula

ω = K C

Disso tudo agora só precisamos definir os nosso vetores campo elétrico e magnético que são dados pelas fórmulas.

E → ( x , t ) = E 0 .   S e n ( K x -   ω t )

B → ( x , t ) = B 0 .   S e n ( K x -   ω t )

Com esses fatores em mãos vamos ao exercício.

Passo 2

No item a é pedido 3 coisas, primeira é determinar o numero de onda, já sabemos a fórmula que é

λ = 2 π K

isolando K teremos

K = 2 π λ

Sabemos que λ = 10 c m = 0.1 m , substituindo teremos

K = 2 π 0,1 = 62,8 r a d m

Passo 3

A segunda coisa que nos foi pedida foi a frequência angular que também já conhecemos a fórmula que é dada por

ω = K C

Já sabemos que

K = 62,8 r a d m

C = 3 . 10 8 m / s

Substituindo teremos

ω = 62,8   .   3   . 10 8 = 18,8   .   10 9   r a d / s

Passo 4

Agora precisamos definir o nosso vetor campo magnético, vamos velo e ver o que já sabemos.

B → ( x , t ) = B 0 .   S e n ( K x -   ω t )

Sabemos que B 0 = 8,00   x   10 - 7 T dado no enunciado

Sabemos que K = 62,8 r a d m

E que ω = 18,8   .   10 9   r a d / s

Por fim só precisamos notar que o enunciado é dito que o vetor campo magnético se move na direção de OZ, ou seja, na direção de K ^ , agora que já temos tudo vamos escrever o nosso vetor campo magnético.

B → x , t = 8,00   x   10 - 7 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t K ^ T

Passo 5

No item b nos é pedido o vetor campo elétrico, vamos rever o campo elétrico para podermos ver o que já temos.

E → ( x , t ) = E 0 .   S e n ( K x -   ω t )

Podemos ver que o seguinte, o nosso produto vetorial é dado por

E → = c . B → x n →

Em que n → é a direção da nossa onda, que quem da é o fator ao qual o nosso K multiplica, ou seja, nesse caso o x, dessa forma sabemos que a nossa onda se propaga na direção i ^ e podemos reescreve-lo da seguinte forma

n → = i ^

Fazendo o produto vetorial teremos

E → = c . 8,00   x   10 - 7 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t ( K ^ x i ^ )

Sabemos que

C = 3 . 10 8 m / s

Mas e o produto vetorial?

Nesse caso temos que ver pela regra da mão direita o que acontece quando fazemos

K ^ x i ^

Analisando pelo desenho ao lado vemos que

K ^ x i ^ = j ^

Com isso teremos que o nosso vetor campo elétrico será

E → = 240 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t j ^ V / m

Passo 6

Por fim nos é pedido a função vetor de poynting e a intensidade da onda, vamos primeiro descobrir qual é o nosso vetor de poynting.

Primeiro temos que relembrar que a sua fórmula é

S → = E → x B → μ 0

Em que

E → = 240 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t j ^

B → x , t = 8,00   x   10 - 7 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t K ^

Fazendo esse produto vetorial teremos o seguinte determinante

1 μ 0 i ^ j ^ k ^ 0 240 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t 0 0 0 8   x   10 - 7 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t

Para que o determinante não fique tão grande irei substituir os termos maiores pelo símbolo de cada campo da seguinte forma

1 μ 0 i ^ j ^ k ^ 0 E 0 0 0 B

Agora resolvendo esse determinante teremos

1 μ 0 E .   B .   i ^

Substituindo os respectivos valores teremos

S → = 1 μ 0 E .   B .   i ^

S → = 1 4 π . 10 - 7 240 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t .   8   x   10 - 7 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t .   i ^

S → = 153 . S e n ² 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t i ^   W / m ²

Passo 7

Agora por fim apenas precisamos definir o valor da intensidade desse vetor, aqui vale relembrar duas fórmulas muito importantes que são as seguintes.

E e f = E m 2

E essa mudança é necessária para que possamos chegar na fórmula da intensidade em função da intensidade de campo elétrico eficaz que é dado pela relação

I = c . ε 0 . E e f 2

Em que

c = 3 . 10 8 m / s

ε 0 = 8,9 . 10 - 12

Substituindo apenas os termos da fórmula teremos

I = c . ε 0 . ( E m 2 ) 2

I = c . ε 0 . ( E m ) 2 2

Em que E m é a amplitude no nosso campo elétrico que é dada por

E m = 240

Substituindo teremos

I = 3 . 10 8 . 8,9 . 10 - 12 . ( 240 ) 2 2

I = 76,9   W / m ²

Resposta

a) K = 62,8 r a d m

ω = 18,8   .   10 9   r a d / s ;

B → x , t = 8,00   x   10 - 7 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t K ^ T .

b) E → = 240 .   S e n 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t j ^ V / m

c) S → = 153 . S e n ² 62,8 . x -   18,8   .   10 9 t i ^   W / m ²

I = 76,9   W / m ² .

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