Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

O campo magnético de uma onda eletromagnética se propagando no vácuo é dado por  B → = B 0 sen ⁡ k x + c t   z ^ . Expresse suas respostas apenas em termos de dados do problema e constantes universais.

  1. Determine o vetor campo elétrico desta onda. Justifique sua resposta por meio de um esquema gráfico dos vetores pertinentes.
  2. Determine o vetor de Poynting desta onda.
  3. Determine a energia total transportada pela radiação através de uma área A perpendicular à frente de onda durante um intervalo de tempo igual a 4 vezes o período da onda.

Passo 1

a) Vamos resumir as características mais importantes de uma onda eletromagnética:

  1. É composta por campos elétrico  E → e magnético B → que oscilam no tempo e são perpendiculares entre si;
  2. E → B → são perpendiculares também à direção de propagação da onda e a relação entre os seus módulos é E → = c B → ;
  3. A direção e sentido de propagação da onda é dado pelo vetor de Poynting:   S → = E →   ×   B → μ 0   , que dá, também, a quantidade de energia por unidade área transferida pela onda eletromagnética;

No caso do problema, a onda eletromagnética está se propagando no sentido de - x ^ , já que o argumento da função oscilatória de  B → é ( x + c t ) . Ou seja, o campo magnético está na direção de + z ^ , mas a função que o representa mostra que a onda está caminhando no sentido e direção de - x ^ .

Passo 2

Bom, dos itens acima, o campo elétrico  E → também deve ser perpendicular à direção propagação da onda, portanto, deve estar ao longo da direção do eixo O y , mas precisamos ainda encontrar qual é o sentido dele.

Antes disso, o módulo já podemos achar, já que E → = c | B → | . Por isso:

E → = c B 0 sen ⁡ k x + c t   .  

Agora, partindo do vetor de Poynting, o produto vetorial   E →   ×   B → tem que resultar em um vetor que está ao longo de – O x ( - x ^ ), já que a onda está se propagando nessa direção. Para que isso aconteça, o campo elétrico deve estar apontando na direção e sentido de - y ^ . Portanto, o vetor campo elétrico é

E → = c B 0 sen ⁡ k x + c t - y ^   .

Passo 3

b) Uma vez que já sabemos tudo (módulo, direção e sentido) sobre os vetores  E → e B → , podemos calcular o vetor de Poynting:

S → = c B 0 2 sin 2 ⁡ k x + c t μ 0   - y ^   ×   z ^   .

Como - y ^   ×   z ^ = - x ^ , então

S → = c B 0 2 sin 2 ⁡ k x + c t μ 0   - x ^   .  

Portanto, a onda está se propagando na direção e sentido de - x ^ , transportando a energia que armazena.

Passo 4

c) Num intervalo de tempo d t , a onda eletromagnética, que se propaga na direção e sentido de - x ^ , percorre uma distância c d t . Dessa maneira, se a área que a onda atravessou é A , durante o tempo d t , a onda transportou uma energia que é igual a energia que está dentro do elemento de volume d V = A ( c d t ) , como é mostrado na figura abaixo.

A densidade de energia u , ou seja, a quantidade de energia d U por volume d V é dada por

u = S → m e d c = d U d V     ⇒   d U = S → m e d A c d t c   ,

em que | S → m e d | é o módulo do valor médio do vetor de Poynting. Essa média é temporal, por isso, como temos uma função oscilatória ao quadrado na expressão para   S → ,

S → m e d = c B 0 2 2 μ 0     ,

que é independente do tempo.

Portanto, como queremos saber qual a energia total transportada pela onda num tempo de 4 T , precisamos integrar a expressão acima

U = ∫ 0 4 T A S → m e d d t = A | S → m e d |   ∫ 0 4 T d t   ⇒   U = 4 A | S → m e d | T   .

O período pode ser escrito como

T = 2 π ω = 2 π k c   .

A energia, com isso, fica reescrita como

U =   4 π A B 0 2 μ 0 k   .

Resposta

  1. E → = c B 0 sen ⁡ k x + c t - y ^   ;
  2. S → = c B 0 2 sin 2 ⁡ k x + c t μ 0   - x ^   ;  
  3. U = 4 π A B 0 2 μ 0 k   .

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