Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana monocromática de comprimento de onda λ propaga-se no vácuo no sentido positivo do eixo z . Seu campo elétrico oscila na direção x e sua amplitude assume metade do seu valor máximo E 0 na origem do sistema de coordenadas no instante t = 0 . Nos itens (a) e (b) abaixo, expresse suas respostas em termos de E 0 , c , μ 0 e λ .

(a) Escreva as expressões dos vetores campo elétrico e campo magnético associados a esta onda.

(b) Calcule o vetor Poynting.

(c) No instante t = 0 , um elétron de carga q e está passando pela origem do sistema de coordenadas com velocidade c 2 , na direção e sentido do eixo z . Calcule o vetor força que age sobre o elétron em t = 0 devido a essa onda.

Passo 1

(a) A expressão geral do campo elétrico da onda do problema é

E → = E 0 cos ⁡ k z - ω t + ϕ i ^ = E 0 cos ⁡ 2 π λ z - c t + ϕ i ^

onde usamos que k = 2 π / λ e ω = k c . A condição E → 0,0 = E 0 c o s ϕ = E 0 / 2   ⟹ ϕ = π / 3 . Assim,

E → = E 0 cos ⁡ 2 π λ z - c t + π 3 i ^

O campo magnético é, portanto:

B → = k ^ × E → c = E 0 c c o s 2 π λ z - c t + π 3 j ^  

Passo 2

(b) O vetor Poynting é dado pela seguinte expressão:

S → = E → × B → μ 0

Com as expressões que temos:

S → = E 0 2 c μ 0 cos 2 ⁡ 2 π λ z - c t + π 3 k ^

Passo 3

(c) A força que atua sobre o elétron é a força de Lorentz, dada por:

F → = q e E → + q e v → × B →

No instante t = 0 , na origem, E → 0,0 = E 0 / 2 i ^ ,   B → 0,0 = E 0 / 2 c j ^ e v → = ( c / 2 ) k ^ . Portanto,

F → = q e E 0 2 i ^ - q e c 2 E 0 2 c i ^

Logo:

F → = q e E 0 4 i ^

Resposta

a) B → = k ^ × E → c = E 0 c c o s 2 π λ z - c t + π 3 j ^  

b) S → = E 0 2 c μ 0 cos 2 ⁡ 2 π λ z - c t + π 3 k ^

c) F → = q e E 0 4 i ^

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