Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é dado pela fórmula

E → x , y , z , t = 2,5   V / m C o s π 100 n m z + c t i ^ + 1,5   V / m S e n π 100 n m z + c t j ^

Em função dos dados do enunciado e de constantes fundamentais dadas no formulário (folha de capa), calcule e responda o que se pede.

(a) Determine i) a direção e o sentido de propagação, ii) o vetor número de onda, iii) a frequência iv) o comprimento de onda da onda eletromagnética.

(b) Determine o vetor campo magnético B → (x, y, z, t) da onda eletromagnetica.

(c) Calcule o vetor de Poynting e a intensidade da onda eletromagnética.

Formulário:

- Média de seno e cosseno C o s 2 θ = S e n 2 θ = 1 2

Passo 1

a)

Nesse exercício ele usa i ^ , j ^ e k ^ como vetores unitários, mas pra não confundir o número de onda k   e a direção k ^ (muitos k’s né? Kkkkkk) vou usar como direção de propagação z ^ , beleza?

Para o nosso primeiro objetivo precisamos analisar uma fórmula completa do campo elétrico e relembrar alguns conceitos muito importantes, então vamos lá, na forma geral a fórmula é.

E → x , y , z , t = E 0 x .   C o s k z +   ω t x ^ + E 0 y .   S e n ( k z +   ω t ) y ^

Sabemos que essa fórmula, comparando com a do nosso enunciado, nos fornece alguns dados importante e podemos definir alguns parâmetros.

O primeiro é que o valor de k se refere ao valor que multiplica z , dessa forma encontramos facilmente que o valor de k vai ser

k = π 100 n m

Como ele multiplica z , já vemos que a onda se propaga nesse eixo.

Para determinarmos o sentido precisamos lembrar que quando temos ( k z + ω t ) a onda está sendo propagada na direção - z ^ e quando temos ( k z - ω t ) a onda se propaga na direção + z ^ .

Nesse caso, temos ( k z + ω t ) o que mostra que a nossa onda se propaga na direção negativa do eixo z , ou seja, - z ^ , respondendo assim o item 1 da letra a! o/

Passo 2

Também já definimos o modulo do nosso numero de onda, mas como o item 2 pede o vetor podemos escreve-lo da seguinte forma

k → = - π 100 n m z ^

Passo 3

Para o terceiro item precisamos lembrar que

λ = 2 π k

ou seja, o valor do nosso comprimento de onda depende apenas de k, que já possuímos. Logo teremos que o comprimento de onda será.

λ = 2 π π 100 = 200 n m

mas porque calculamos o comprimento de onda? Por que aí conseguimos usar a equação da onda

c = λ f  

Sabendo que

c = 3 . 10 8 m / s

λ = 200 n m = 200 . 10 - 9 m

teremos que a nossa frequência será

f = c λ = 3 . 10 8 200 . 10 - 9

f = 1,5 . 10 15 H z

Passo 4

b)

Antes de começarmos o item B devemos nos lembrar que o campo magnético é dado pela fórmula

B → = k ^ × E → c

Onde k ^ é o nosso vetor unitário na direção - z ^ e o campo elétrico é o nosso campo do enunciado. Como temos um produto vetorial então precisaremos calcular o determinante.

k ^ = ( 0,0 , - 1 )

Da mesma forma também podemos escrever o campo elétrico da seguinte forma

E → = 2,5 C o s π 100 m m z + c t ,   1,5 S e n π 100 m m z + c t , 0

Para facilitar a vida a gente pode fazer a conta usando

E → = ( E x , E y , 0 )

Montando o determinante teremos

B → = 1 c x ^ y ^ z ^ 0 0 - 1 E x E y 0

Resolvendo esse determinamos chegamos ao valor de

B → = E y c x ^ -   E x c y ^

B → = + 1,5 S e n π 100 m m z + c t c x ^ - 2,5 C o s π 100 m m z + c t c y ^

Reorganizando e escrevendo da forma correta teremos que o nosso campo magnético será

B → = 1,5 c V m S e n π 100 m m z + c t x ^ - 2,5 c V m C o s π 100 m m z + c t y ^

Passo 5

c)

No item C é pedido o vetor de Poynting e a sua intensidade, que no caso ele chama de intensidade de onda eletromagnética, vamos resolver a primeira parte e depois nos preocuparemos com a segunda.

Sabemos que o vetor de Poynting é dado pela fórmula

S → = E → × B → μ 0

Em que novamente temos um produto vetorial que pode ser resolvido pelo seguinte determinante

E → = 2,5 V m C o s π 100 m m z + c t ,   1,5 V m S e n �� 100 m m z + c t , 0

E

B → = 1,5 c V m S e n π 100 m m z + c t , - 2,5 c V m C o s π 100 m m z + c t , 0

Como você pode ver, esses valores são gigantescos, então faremos a seguinte simplificação.

E → = ( E x , E y , 0 )

E

B → = ( B x , B y , 0 )

Colocando esses valores no nosso determinante teremos

S → = 1 μ 0 x ^ y ^ z ^ E x E y 0 B x B y 0

E no fim teremos a fórmula

S → = ( E x B y - E y B x ) μ 0 z ^

Agora você deve estar pensando o quão chato vai ser trocar aqueles valores gigantes na formula final..., mas tem o seguinte: os termos de E x   e B y têm a mesma cara! Olhando com calma você pode ver que

B y = - E x c

A mesma coisa acontece com B x e E y

B x = E y c

Assim temos

S → = E x - E x c - E y E y c μ 0 z ^

S → = - 1 c μ 0 E x 2 + E y 2 z ^

Substituindo finalmente temos

S → = - z ^ μ 0 . c 2,5 V m 2 C o s 2 π 100 n m z + c t + 1,5 V m 2 S e n 2 π 100 n m z + c t

Passo 6

Além do vetor de Poynting também era pedido o valor da intensidade da onda eletromagnética, e para isso vale lembrar o seguinte, para esse caso, o cálculo da intensidade da onda será dado pela média temporal da amplitude do vetor de Poynting. Mas sabemos que esses cálculos são muito complicados.

Como no formulário nos é dito que a média temporal do quadrado das funções trigonométricas são

C o s 2 θ = S e n 2 θ = 1 2

Encontramos que para a média temporal das amplitudes teremos

I = 1 μ 0 . c 2,5 V m 2 C o s 2 … + 1,5 V m 2 S e n 2 …

I = 1 μ 0 . c 2,5 V m 2 1 2 + 1,5 V m 2 1 2  

I = 1 2 μ 0 . c 2,5 V m 2 + 1,5 V m 2  

Resolvendo essa continha teremos que

I = 4,25 μ 0 . c ( V / m ) ²

Resposta

a)i)   - z ^

ii) k → = - π 100 n m z ^

iii)   f = 1,5 . 10 15 H z

iv) λ = 200 n m

b) B → = 1,5 c V m S e n π 100 m m z + c t , - 2,5 c V m C o s π 100 m m z + c t , 0

c) S → = - z ^ μ 0 . c 2,5 V m 2 C o s 2 π 100 n m z + c t + 1,5 V m 2 S e n 2 π 100 n m z + c t

I = 4,25 μ 0 . c ( V / m ) ²

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