Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

O campo elétrico de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo é dado pela fórmula

  E → x , y , z , t = 7,0 V m cos ⁡ π 50 n m z   +   c t x ^ .

Em função dos dados do enunciado e das constantes fundamentais dadas no formulário (substitua os valores, por exemplo use c = 3   .   10 8 m/s), calcule e responda o que se pede.

(a) Determine i) a direção o e o sentido de propagação, ii) o vetor número de onda, iii) a frequência e iv) o comprimento de onda da onda eletromagnética.

(b)Determine o vetor campo magnético B → ( x , y , z , t ) da onda eletromagnética.

(c)Calcule o vetor de Poynting e a intensidade da onda eletromagnética.

Passo 1

Para o nosso primeiro objetivo precisamos analisar uma fórmula completa do campo elétrico e relembrar alguns conceitos muito importantes, então vamos lá, na forma geral a fórmula é.

E → x , y , z , t = E 0 .   C o s K z +   ω t x ^ + E 1 .   S e n ( K z -   ω t ) y ^

Sabemos que essa fórmula em comparação a que está no nosso enunciado nos fornece alguns dados importante e a partir dela conseguimos definir alguns parâmetros.

O primeiro é que o valor de K se refere ao valor que multiplica Z, dessa forma encontramos facilmente que o valor de k vai ser

k = π 50 n m

Sendo esse valor na direção da variável que ele multiplica, sendo nesse caso na direção Z.

Também sabemos que para determinarmos o sentido precisamos saber que quando o termo K z +   ω t está se somando a direção de propagação da onda vai no sentido contrario ao do eixo de propagação, enquanto que quando esses termos se subtraem a nossa propagação ocorre na direção positiva,

Nesse caso percebemos que como esses termos se somam a nossa onda se propaga na direção negativa do eixo z, ou seja, a direção de propagação dessa onda é - Z ^ , respondendo assim o item 1 da letra a.

Também já definimos o modulo do nosso número de onda, mas como o item 2 pede o vetor podemos escreve-lo da seguinte forma

k → = - π 50 n m Z ^ = 2 π   .   10 7 r a d m

Para o terceiro item precisamos lembrar que

λ = 2 π K

ou seja, o valor do nosso comprimento de onda depende apenas de k, que já possuímos. Logo teremos que o comprimento de onda será.

λ = 2 π π 50 n m = 100 n m = 10 - 7 m

mas porque calculamos o comprimento de onda? Exatamente para podermos achar a frequência, lembra das formula?

v = λ .   f  

Em que a nossa velocidade é a da luz e o comprimento de onda é o que acabamos de calcular, dessa forma fica bem mais fácil entender o motivo de calcularmos o comprimento de onda.

Sabendo que

c = 3 . 10 8 m / s

λ = 100 n m = 10 - 7 m

teremos que a nossa frequência será

f = c λ = 3 . 10 8 10 - 7 = 3 .   10 15 H z

Passo 2

Antes de começarmos o item B devemos nos lembrar que o campo magnético é dado pela fórmula

B → = K ^ x E → C

Em que K é o nosso vetor unitário na direção –Z e o campo elétrico é o nosso campo conhecido, percebemos que se trata de um produto vetorial então precisaremos calcular o determinante. Sabemos que precisamos escrever o vetor propagação de onda e campo magnético de uma forma coerente para que possamos fazer o cálculo, sabemos que o formato de K ^ será.

K ^ = ( 0,0 , - 1 )

Lembrando que nesse caso usamos o valor de -1 pois se trata do unitário nessa direção, se por acaso quiséssemos o vetor K usaríamos o seu valor de módulo ( - π 50 n m ) .

Da mesma forma também podemos escrever o campo elétrico da seguinte forma

E → = 7,0 V m cos ⁡ π 50 n m z   +   c t , 0,0

Claro que fazer os cálculos com o determinante dessa forma seria absurdo, por isso simplificarei o cálculo escrevendo o campo elétrico pelos seus módulos, apenas para facilitar,

E → = ( E 0 , 0 , 0 )

Montando o determinante teremos

1 c x ^ y ^ z ^ 0 0 - 1 E 0 0 0

Resolvendo esse determinamos chegamos ao valor de

-   E 0 c y ^

Agora que determinamos o campo magnético basta substituirmos os nossos valores gigantescos nessa conta para E 0

-   7,0 V m cos ⁡ π 50 n m z   +   c t c y ^

Reorganizando e escrevendo da forma correta teremos que o nosso campo magnético será

B → = - 7,0 c V m cos ⁡ π 50 n m z   +   c t y ^ = - 2,33   .   10 - 8 T cos ⁡ π 50 n m z   +   c t y ^

Passo 3

No item C nos é pedido o vetor de poynting e a sua intensidade, que no caso ele chama de intensidade de onda eletromagnética, vamos resolver a primeira parte e depois nos preocuparemos com a segunda.

Sabemos que o vetor de poynting é dado pela fórmula

S → = E → x B → μ 0

Em que novamente temos um produto vetorial que pode ser resolvido pelo seguinte determinante

E → = 7,0 V m cos ⁡ π 50 n m z   +   c t , 0,0

E

B → = ( 0 , - 2,33   .   10 - 8 T cos ⁡ π 50 n m z   +   c t , 0 )

Como você pode ver, esses valores são gigantescos, então faremos a seguinte simplificação.

E → = ( E 0 , 0 , 0 )

E

B → = ( 0 , - B 1 , 0 )

Colocando esses valores no nosso determinante teremos

1 μ 0 x ^ y ^ z ^ E 0 0 0 0 - B 1 0

E no fim teremos a fórmula

( - E 0 B 1 ) μ 0 z ^

Podemos reescrever esse vetor da seguinte forma

( E 0 B 1 ) μ 0 ( - Z ^ )

Agora você deve estar pensando o quão chato vai ser trocar aqueles valores gigantes na formula final, mas perceba o seguinte, os termos de E 0 B 1 possuem o mesmo modulo e a mesma parte trigonométrica, apenas o que muda é que B 1 está dividido por C.

Da mesma forma o termo B 0 E 1 se comporta da mesma forma, possuindo o mesmo modulo e parte trigonométrica trocando apenas o fato de o fator magnético estar dividido por C.

Dessa forma vamos colocar μ 0 , c   e   - k ^ em evidencia e sabemos que o que sobrar vai estar ao quadrado, tanto o modulo quanto a parte trigonométrica.

S → = - Z ^ μ 0 . c 7,0 V m 2 C o s 2 π 50 n m z + c t = - 0,4 π W m 2 C o s 2 π 50 n m z + c t z ^

Passo 4

Além do vetor de poynting também era pedido o valor da intensidade da onda eletromagnética, e para isso vale lembrar o seguinte, para esse caso, o cálculo da intensidade da onda será dado pela média temporal da amplitude do vetor de poynting. Mas sabemos que esses cálculos são muito complicados.

Como no formulário nos é dito que a média temporal do quadrado das funções trigonométricas são

C o s 2 θ = S e n 2 θ = 1 2

Encontramos que para a média temporal das amplitudes teremos

I = 1 2 μ 0 . c 7,0 V m 2

Resolvendo essa continha teremos que

I = 24,5 μ 0 . c V m 2 = 0,2 π W m 2

Resposta

a)i)   - Z ^

ii) k → = - π 5 0 m m Z ^

iii)   f = 3 . 10 15 H z

iv) λ = 100   n m

b) B → = - 7,0 c V m cos ⁡ π 50 n m z   +   c t y ^ = - 2,33   .   10 - 8 T cos ⁡ π 50 n m z   +   c t y ^

c) S → = - 0,4 π W m 2 C o s 2 π 50 n m z + c t z ^

I = 0,2 π W m 2

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