Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Considere uma onda plana monocromática cujo vetor de Poynting é S → x , y , z , t = 2 E 0 B 0 / μ 0 cos 2 ⁡ k z - ω t   z ^ e o campo elétrico, E → x , y , z = E 0 x ^ + y ^ cos ⁡ k z - ω t . Obtenha o campo magnético dessa onda, onde os versores unitários x ^ , y ^ e z ^ formam, nessa ordem, um conjunto cartesiano de vetores.

(a) B 0 / 2 ( y ^ - x ^ ) c o s   ( k z   -   ω t )

(b) 2 B 0 ( y ^ - x ^ ) c o s ( k z - ω t )

(c) B 0 ( y ^   + x ^ ) c o s ( k z   -   ω t )

(d) 2 B 0 ( y ^ + x ^ ) c o s   ( k z   -   ω t )

(e) B 0 ( y ^ - x ^ ) c o s   ( k z   -   ω t )

(f) B 0 / 2 y ^ + x ^   c o s k z   -   ω t

Passo 1

Antes de qualquer coisa devemos no lembrar que existe uma fórmula com um produto vetorial que liga os valore do campo magnético e do campo elétrico, essa fórmula é

B → = k ^ × E → c

Sabendo que todo produto vetorial pode ser resolvido por uma determinante, basta penas definir as coordenadas para cada vetor e assim calcular o valor de B → .

Passo 2

Pela fórmula do campo elétrico E 0 x ^ + y ^ cos ⁡ k z - ω t percebemos facilmente que o vetor E → possui componentes na direção x ^ e na direção y ^ .

Da mesma forma, dentro do parênteses, vemos que o vetor k ^ possui componentes apenas na direção z ^ .

Reescrevendo cada vetor teremos.

E → = ( E 0 , E 0 , 0 )

K ^ = ( 0,0 , 1 )

Colocando esses vetores no determinante teremos

1 c x ^ y ^ z ^ 0 0 1 E 0 E 0 0

Fazendo esse produtinho vetorial teremos

E 0 c y ^ -   E 0 c x ^

Ou seja, por esse cálculo percebemos que a nossa fórmula do campo magnético possui componentes na direção y ^ e na direção -   x ^ , como sabemos que o termo de onda senoidal sempre é o mesmo teremos que a nossa onda pode ser escrita como.

E 0 c c o s ( k z - ω t ) ( y ^ -   x ^ )

Como sabemos a relação E 0 c é igual a B 0

Logo a formula final será

B → = B 0   c o s ( k z - ω t ) ( y ^ -   x ^ )

Mas parece que tem um negócio meio estranho aqui né? Deu mó vontade de marcar as opções que têm 2 B 0 na frente!

Pra ter certeza de que tá tudo certo, vamos fazer o produto vetorial

S → = E → × B → μ 0 = E 0 B 0 μ 0 cos 2 ⁡ k z - ω t x ^ y ^ z ^ 1 1 0 - 1 1 0

S → = E 0 B 0 μ 0 cos 2 ⁡ k z - ω t 2 z ^ = 2 E 0 B 0 μ 0 cos 2 ⁡ k z - ω t

Que é certinho o vetor de Poyinting do enunciado! Então a nossa resposta tá certa!

Eu sei, o que você tá pensando! Como que aparece esse dois aí?!?!?!?! Repara aí que o valor máximo de S é 2 E 0 B 0 / μ 0 , mas geralmente é E 0 B 0 / μ 0 .

Aconteceria isso se o valor máximo de E fosse E 0 e o de B fosse B 0 .

Mas não é não?

Não jovem garfanhoto(a), o que acontece aqui é que o campo elétrico é dado por

E → x , y , z = E 0 x ^ + y ^ cos ⁡ k z - ω t

E ele tem DUAS componentes! Então o valor máximo dele é dado por

E m a x 2 = E x 2 + E y 2 = 2 E 0 2

E m a x = 2 E 0

E a mesmíssima coisa acontece para o campo magnético

B m a x = 2 B 0

Assim a intensidade máxima do vetor de Poynting é

S m a x = E m a x B m a x μ 0 = E 0 2 B 0 2 μ 0 = 2 E 0 B 0 μ 0

AAAHHHH, então é daí que vem esse 2 danadinho! ;)

Resposta

e) B → = B 0   C o s ( K z - ω t ) ( y ^ -   x ^ )

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