Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana de comprimento de onda 20,0   c m se propaga no vácuo com velocidade no sentido positivo do eixo x . O campo de indução magnética oscila no eixo O Z com valor máximo de 5,00 ∙ 10 - 7   T e s l a .

  1. Calcule os valores do número de onda k e da frequência angular ω . Escreva a função do vetor campo de indução magnética B z → x , t na forma senoidal em termos dos dados fornecidos. Considere a constante de fase nula.
  2. Determine a função do vetor campo elétrico E y → x , t , sabendo que E → = c B → × n → , onde × designa o produto vetorial e n → designa o vetor unitário na direção da velocidade da onda.
  3. Encontre a função do vetor de Poynting S → x , t e a intensidade ( I ) dessa onda.

Passo 1

Letra a)

O número de onda k se relaciona com o comprimento de onda por:

k = 2 π λ

Sendo λ = 20,0   c m = 0,2   m , teremos:

k = 2 π 0,2 = 10 π ≈ 31,4159   m - 1

Além disso, sabendo que a luz se encontra no vácuo, a sua velocidade tem que ser igual a c . Podemos então achar a frequência angular dela através da relação:

ω k = c →     ω = k c

c = 3 ∙ 10 8   m / s

ω = 31,4159 ∙ 3 ∙ 10 8 = 94,2478 ∙ 10 8   H z

Podemos substituir esses termos junto com a amplitude B m = 5,00 ∙ 10 - 7   T na forma senoidal do vetor campo magnético. Isso corresponde a:

B z → x , t = 5,00 ∙ 10 - 7   T ∙ sen ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   k ^

O sinal entre os termos dentro do seno se deve ao fato de que a onda se propaga no sentido positivo do eixo x .

Passo 2

Letra b)

O vetor campo elétrico vai ser dado por:

E → = c B → × n →

Onde n → é o vetor unitário que aponta no sentido de propagação da onda, ou seja:

n → = i ^

Pra gravarmos a fórmula de um produto vetorial, o melhor é tentar olhar um determinante.

B → × n → = i ^ j ^ k ^ B x B y B z n x n y n z = i ^ j ^ k ^ 0 0 B z 1 0 0

E com isso:

c B → × n → = c B z   j ^ = 3 ∙ 10 8 ∙ 5,00 ∙ 10 - 7   T ∙ sen ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   j ^

E y → = ( 150   V / m ) ∙ sen ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   j ^

Passo 3

Letra c)

O vetor de Poynting é dado por:

S → x , t = E → × B → μ 0  

Mas novamente, pra gravarmos a fórmula de um produto vetorial, o melhor é tentar olhar um determinante.

E → × B → = i ^ j ^ k ^ E x E y E z B x B y B z = i ^ j ^ k ^ 0 E y 0 0 0 B z

E com isso:

1 μ 0 E → × B → = 1 μ 0 E y B z   i ^ = 1 4 π ∙ 10 - 7 ∙ 150 ∙ 5 ∙ 10 - 7 ∙ sen 2 ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   i ^

S → = 59,68 ∙ sen 2 ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   i ^

A intensidade pode ser encontrada por:

I = 1 2 E m B m μ 0

Porém, note que no cálculo do vetor de Poynting, temos que a amplitude da oscilação é igual a E m B m / μ 0 . Ou seja, basta dividir essa amplitude por dois.

I = 59,68 2 ≈ 29,84   W / m 2

Resposta

Letra a)

B z → x , t = 5,00 ∙ 10 - 7   T ∙ sen ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   k ^

Letra b)

E y → = ( 150   V / m ) ∙ sen ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   j ^

Letra c)

S → = 59,68 ∙ sen 2 ⁡ 31,4159 ∙ x - 94,2478 ∙ 10 8 t   i ^

I = 29,84   W / m 2

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