Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo com velocidade c .

O campo de indução magnética B → está no eixo O Z e tem B m = 0 , 5 0 ∙ 10 - 8   T , k = 125   m - 1 , ω = 3 , 75 ∙ 10 10   r a d / s , sendo dado por uma função cossenoidal dotada de uma constante de fase π 5   r a d .

  1. Determine a expressão do vetor campo elétrico E → x , t a partir da equação de Maxwell ∇ → × B → = μ 0 J → + μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t .
  2. Encontre o vetor de Poynting S → x , t e intensidade ( I ) dessa onda.

Passo 1

Letra a)

O campo magnético B → é dado por uma função cosseno. Colocando os dados do enunciado:

B → = B m cos ⁡ k x - ω t + δ   k ^

B → = 0,50 ∙ 10 - 8   T ∙ cos ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5   k ^

No vácuo, como não temos cargas elétricas, a densidade de corrente é zero.

J → = 0 →

E temos então:

∇ → × B → = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t

A melhor forma para tentarmos lembrar a forma de um rotacional é por um determinante.

∇ → × B → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z B x B y B z

O que nos dá:

∇ → × B → = ∂ B z ∂ y - ∂ B y ∂ z i ^ + ∂ B x ∂ z - ∂ B z ∂ x j ^ + ∂ B y ∂ x - ∂ B x ∂ y k ^

Porém, pela equação que nos dá B → , sabemos que:

B x = B y = 0

E que B z só depende de x e de t . Com isso:

∇ → × B → = - ∂ B z ∂ x   j ^ = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t = μ 0 ϵ 0 ∙ ∂ E x ∂ t i ^ + ∂ E y ∂ t j ^ + ∂ E z ∂ t k ^

Onde, igualando as componentes, temos:

∂ E x ∂ t = 0 → E x = c o n s t a n t e

∂ E z ∂ t = 0 → E z = c o n s t a n t e

Sendo o campo magnético paralelo ao eixo z , podemos dizer que E z = 0 , pois o campo elétrico deve ser perpendicular ao campo magnético.

Além disso, o campo elétrico e magnético devem oscilar em fase. Por isso, quando B → = 0 → , temos que ter E → = E x i ^ + E y j ^ = 0 → .

Mas para um vetor composto de dois componentes ser zero, ambas suas componentes devem ser zero. Como E x é constante, se ele é zero em algum instante, ele é zero em todos os instantes. Por isso E x = 0 .

Fica faltando apenas achar E y .

Passo 2

Usando as conclusões do passo anterior chegamos na seguinte equação:

E → x , t = E y j ^

- ∂ B z ∂ x = μ 0 ϵ 0 ∂ E y ∂ t

Agora usando a equação que nos dá B z , temos:

∂ B z ∂ x = - 0,5 ∙ 10 - 8 ∙ 125 ∙ sen ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5

μ 0 ϵ 0 ∂ E y ∂ t = - 62,5 ∙ 10 - 8 sen ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5

E agora integramos em função do tempo dos dois lados, o que dá:

μ 0 ϵ 0 E y = 62,5 ∙ 10 - 8 3,75 ∙ 10 10 ∙ cos ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5

Os valores da permissividade elétrica e da permeabilidade magnética no vácuo são:

  • μ 0 = 4 π ∙ 10 - 7   N / A 2
  • ϵ 0 = 8,9 ∙ 10 - 12   C 2 / N m 2

E assim temos:

E y = 1 4 π ∙ 10 - 7 ∙ 8,9 ∙ 10 - 12 ∙ 62,5 ∙ 10 - 8 3,75 ∙ 10 10 ∙ cos ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5

E → x , t = 1 , 4 9 V m ∙ cos ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5   j ^

Passo 3

Letra b)

O vetor de Poynting é dado por:

S → x , t = E → × B → μ 0  

Mas novamente, pra gravarmos a fórmula de um produto vetorial, o melhor é tentar olhar um determinante.

E → × B → = i ^ j ^ k ^ E x E y E z B x B y B z = i ^ j ^ k ^ 0 E y 0 0 0 B z

E com isso:

1 μ 0 E → × B → = 1 μ 0 E y B z   i ^ = 1 4 π ∙ 10 - 7 ∙ 1,49 ∙ 0,50 ∙ 10 - 8 ∙ cos 2 ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5   i ^

S → = 0 , 00593 ∙ cos 2 ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5   i ^

A intensidade pode ser encontrada por:

I = 1 2 E m B m μ 0

Porém, note que no cálculo do vetor de Poynting, temos que a amplitude da oscilação é igual a E m B m / μ 0 . Ou seja, basta dividir essa amplitude por dois.

I = 0,00593 2 ≈ 0 , 00296   W / m 2

Resposta

Letra a)

E → x , t = - 1,49 V m ∙ cos ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5   j ^

Letra b)

S → = 0,00593 ∙ cos 2 ⁡ 125 x - 3,75 ∙ 10 10 t + π 5   i ^

I = 0,00296   W / m 2

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