Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana se propaga no vácuo com velocidade c = 3,00 ∙ 10 8   m / s no eixo x . O campo elétrico E → oscila no eixo O Y com E m = 990   V / m , k = 850   m - 1 e ω = 25,5 ∙ 10 10   r a d / s .

Esse campo é representado pela expressão

E y → x , t = 990 V m ∙ sen ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π j ^

  1. Determine a expressão do vetor de indução magnética B z → x , t a partir da equação de Maxwell ∇ → × E → = - ∂ B → ∂ t .
  2. Encontre o vetor de Poynting S → x , t .

Passo 1

Letra a)

Para lembrarmos a forma do rotacional, podemos sempre pensar num determinante:

∇ → × E → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z E x E y E z

Que dá:

∇ → × E → = ∂ E z ∂ y - ∂ E y ∂ z i ^ + ∂ E x ∂ z - ∂ E z ∂ x j ^ + ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y k ^

Porém, E x = E z = 0 e E y = E y x , t , ou seja, não depende de z . Juntando tudo:

∇ → × E → = ∂ E y ∂ x k ^ = - ∂ B z ∂ t k ^

A derivada do campo elétrico é:

∂ E y ∂ x = ∂ ∂ x 990 V m ∙ sen ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π =

= 850 ∙ 990 ∙ cos ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π =

= 8,415 ∙ 10 5 ∙ cos ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π

Então, temos que resolver a equação:

- ∂ B z ∂ t = 8,415 ∙ 10 5 ∙ cos ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π

Integrando os dois lados em função do tempo:

B z = 8,415 ∙ 10 5 25,5 ∙ 10 10 ∙ sen ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π

B z → = ( 0,33 ∙ 10 - 5   T ) ∙ sen ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π   k ^

Passo 2

Letra b)

O vetor de Poynting é dado por:

S → = E → × B → μ 0

Novamente, a melhor forma de lembrarmos como fazer um produto vetorial é por um determinante.

E → × B → = i ^ j ^ k ^ E x E y E z B x B y B z

E → × B → = E y B z - E z B y i ^ + E z B x - E x B z j ^ + E x B y - E y B x k ^

Novamente, sabemos que E x = E z = B x = B y = 0 , e assim:

E → × B → = E y B z   i ^   = 0,33 ∙ 10 - 5 ∙   990 ∙ sen 2 ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π   i ^

S → = 3,267 ∙ 10 - 3 12,56 ∙ 10 - 7 ∙ sen 2 ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π   i ^

S → = ( 2601,11   W / m 2 ) ∙ sen 2 ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π   i ^  

Resposta

Letra a)

B z → = ( 0,33 ∙ 10 - 5   T ) ∙ sen ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π   k ^

Letra b)

S → = ( 2601,11   W / m 2 ) ∙ sen 2 ⁡ 850 x - 25,5 ∙ 10 10 t + π   i ^

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