Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

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Enunciado

Uma onda eletromagnética plana senoidal polarizada na direção do eixo x propaga-se no vácuo na direção dos valores crescentes do eixo z . A frequência da onda é 10 8   s - 1 e o valor máximo atingido pela componente magnética da onda é 10 - 8   T na origem do sistema de coordenadas no instante t = 0 .

a ) Escreva as expressões dos vetores campo elétrico e campo magnético da onda como função do tempo e posição. Todos os parâmetros da expressão devem ser numéricos.

b ) Determine o vetor de Poynting da onda. Todos os parâmetros da expressão devem ser numéricos.

c ) Considere agora a incidência desta onda sobre uma placa totalmente absorvedora de área A = 4   m 2 , que se encontra em uma posição paralela ao plano x y em z = 0 . Calcule a energia U absorvida pela placa após um intervalo de tempo de incidência igual a três vezes o período da onda. A resposta deve ser numérica.

Passo 1

a ) Escreva as expressões dos vetores campo elétrico e campo magnético da onda como função do tempo e posição. Todos os parâmetros da expressão devem ser numéricos.

O problema nos disse que a onda de propaga no sentido + k ^ , nos disse a frequência f = 10 8   s - 1 e nos disse que B 0 = 10 - 8   T é o valor máximo do campo magnético quando t = 0 .

Como a onda está polarizada na direção do eixo x , o seu campo elétrico será do tipo E → = E z , t   i ^ .

Sabendo que o produto vetorial E → × B → sempre aponta no sentido de propagação da onda, se E → está no sentido + i ^ e a onda se propaga no sentido + k ^ , o campo magnético deve estar necessariamente no sentido + j ^ .

Assim, o vetor campo magnético pode ser escrito como:

B → = B 0 cos ⁡ k z - ω t j ^

Antes de continuar, vou falar sobre uma dúvida que pode pintar na hora de escrever a expressão do campo magnético ou do campo elétrico nesse tipo de problema.

Passo 2

A questão é a seguinte: como saber se eu escrevo k z - ω t ou k z + ω t ??

Uma coisa que sempre me ajudou foi o seguinte, tenta imaginar que o sinal é sempre “do contra”, ou seja, se a onde de propaga no sentido + z ^ , o sinal vai ser negativo. Se a onde se propaga no sentido - z ^ , o sinal vai ser positivo.

Mas, na real, o que acontece é o seguinte.

Esse cosseno sempre é escrito como cos ⁡ ( k z - ω t ) (para o caso da onda se propagando na direção z )... mas se a onda estiver se propagando no sentido - k ^ , o argumento do cosseno seria escrito como:

cos ⁡ - k z - ω t

Mas tem uma propriedade do cosseno que diz que

cos ⁡ - x = cos ⁡ x

Logo:

cos ⁡ - k z - ω t = cos ⁡ k z + ω t

Portanto, se a onde se propaga no sentido - k ^ , o argumento será k z + ω t . E vice-versa... entendeu?

Ok! Agora podemos seguir em frente.

Passo 3

Voltando ao problema.

B → = B 0 cos ⁡ k z - ω t j ^

Como k = 2 π / λ e ω = 2 π f , podemos escrever esse cara dessa forma.

B → = B 0 cos ⁡ 2 π z λ - f t j ^

Já temos B 0 e f , temos que descobrir λ .

λ = c f = 3 × 10 8 10 8 = 3

Portanto:

B → = 10 - 8 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t j ^   T

Pra calcular o campo elétrico, nós não teremos muitos problemas. Já sabemos que ele está no sentido + i ^ , certo?

Então ele vai ser essa cara aqui:

E → = E 0 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t   i ^   V / m

Onde:

E 0 = c B = 3 × 10 8 × 10 - 8 = 3   V / m

Portanto:

E → = 3 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t   i ^   V / m

Passo 4

b ) Determine o vetor de Poynting da onda. Todos os parâmetros da expressão devem ser numéricos.

O vetor de Poynting, por definição, é dado por:

S → = E → × B → μ 0

S → = 1 4 π × 10 - 7   3 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t i ^ × 10 - 8 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t j ^

S → = 3 × 10 - 8 4 π × 10 - 7 cos 2 ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t k ^

S → = 3 40 π   cos 2 ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t k ^ W m 2  

Passo 5

c ) Considere agora a incidência desta onda sobre uma placa totalmente absorvedora de área A = 4   m 2 , que se encontra em uma posição paralela ao plano x y em z = 0 . Calcule a energia U absorvida pela placa após um intervalo de tempo de incidência igual a três vezes o período da onda. A resposta deve ser numérica.

A energia está relacionada com o Poynting de uma onda eletromagnética através da expressão:

S = 1 A d U d t

U = ∫ 0 3 T A S t   d t

Obs.: Estamos integrando entre 0 e 3 T porque o problema nos disse que o “intervalo de incidência é igual a três vezes o período da onda”.

Como a área é constante e S t é uma função periódica, podemos reescrever a expressão para a energia como:

U = 3 A ∫ 0 T S t   d t

Aqui você tem dois jeitos de resolver essa conta... ou você substitui a expressão de S t e integra esse cara em relação a t , ou, se você estiver em um nível muito alto de sagacidade, pode fazer o seguinte:

A malandragem começa multiplicando e dividindo esse cara por T . U = 3 A T 1 T ∫ 0 T S t   d t

Onde

1 T ∫ 0 T S t   d t = < S >

Em que < S > é o valor médio de S t .

S t = 3 40 π   cos 2 ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t

< S > = 3 40 π 1 2 = 3 80 π

Voltando para a fórmula de energia.

U = 3 × 4 × 1 10 8 × 3 80 π

Onde T = 1 f = 1 10 8 s .

U = 9 2 π × 10 - 9   J

Resposta

a )

B → = 10 - 8 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t j ^   T

E → = 3 cos ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t   i ^   V / m

b )

S → = 3 40 π   cos 2 ⁡ 2 π z 3 - 10 8 t k ^ W m 2

c )

U = 9 2 π × 10 - 9   J

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