Exercícios Resolvidos de Vetor de Poynting e Intensidade

Ver Teoria

Enunciado

O vetor de Poynting associado com uma onda eletromagnética harmônica que se propaga no vácuo é dado por:

S → z , t = 100 4 π cos 2 ⁡ 10 z - 3 × 10 9   t   z ^

E é medido em W / m 2 .

  1. Qual a direção e o sentido de propagação da onda? Justifique a sua resposta.
  2. Suponha que em t = 0 e no plano z = 0 o campo elétrico aponte no sentido do eixo O x . Determine a expressão vetorial do campo elétrico associado a este vetor de Poynting.
  3. Determine o vetor campo magnético associado com este vetor de Poynting.
  4. Calcule o comprimento de onda e a frequência desta onda harmônica.

Passo 1

Letra (a)

Beleza!

Temos duas formas de mostrar a direção e sentido de propagação e justificar, vou te falar em ordem de preferência.

1º modo: Analisando o vetor

O vetor de Poynting sempre tem a direção e sentido de propagação da onda! Isso ocorre para qualquer valor de z ou de t .

Vamos dar uma olhada na equação:

S → z , t = 100 4 π cos 2 ⁡ 10 z - 3 × 10 9   t   z ^

Assim, a onda se propaga no sentido + z ^ .

Passo 2

2º modo: Analisando o argumento dentro da função senoidal

A análise que eu vou te mostrar agora te ajuda tanto quando o problema te dá o vetor de Poynting, quanto quando ele te dá o campo magnético ou o vetor de campo elétrico.

Vamos dar uma olhada na equação que o problema nos dá:

S → z , t = 100 4 π cos 2 ⁡ 10 z - 3 × 10 9   t   z ^

Agora, o que vamos analisar é o argumento que está dentro da função senoidal, nesse caso será

cos 2 ⁡ 10 z - 3 × 10 9   t

O que você precisa ter em mente pra descobrir a direção e o sentido de propagação da onda é que, para o argumento

10 z - 3 × 10 9   t

ser constante, é necessário que, conforme o tempo aumente, o valor de z também aumente.

Assim, a onda se propaga no sentido + z ^ .

A lógica é a mesma para qualquer outra variável, você só deve repetir o pensamento, por exemplo, se o argumento fosse

10 z + 3 × 10 9   t

Para que ele permanecesse constante, conforme o tempo aumentasse, o valor de z deveria diminuir. Logo, a onda se propagaria no sentido - z ^ .

Entendeu?

Passo 3

Letra (b)

Podemos associar o módulo do vetor de Poynting S com o módulo do campo elétrico E por:

S = ϵ 0 c E 2 → E = S ϵ 0 c

Onde:

S → z , t = ( 100 / 4 π ) cos 2 ⁡ 10 z - 3 × 10 9   t   z ^ ;

c = 3 × 10 8   m/s ;

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   F/m ;

Logo:

E = ( 100 / 4 π ) cos 2 ⁡ 10 z - 3 × 10 9   t 8,85 × 10 - 12 × 3 × 10 8

E z , t = 54,75   cos ⁡ ( 10 z - 3 × 10 9 t )       V/m

Passo 4

O problema nos diz que quando t = 0 e z = 0 , o campo elétrico aponta no sentido + x ^ .

E 0,0 = 54,75     V/m

Logo:

E → z , t = 54,75 cos ⁡ ( 10 z - 3 × 10 9 t ) x ^       V/m

Passo 5

Letra (c)

Sabemos que o campo elétrico E e o campo magnético B estão relacionados por:

E = c B → B = E c

Onde:

E z , t = 54,75 cos ⁡ ( 10 z - 3 × 10 9 t ) V/m ;

c = 3 × 10 8   m/s ;

Logo:

B = 54,75 3 × 10 8 cos ⁡ ( 10 z - 3 × 10 9 t )

B = 18,25 × 10 - 8 cos ⁡ 10 z - 3 × 10 9 t   T

Passo 6

Agora precisamos descobrir a direção e sentido do campo magnético.

O produto vetorial E → × B → nos dá a direção e o sentido de propagação da onda.

Sabemos que a onda se propaga no sentido do vetor + z ^ e que o campo elétrico se propaga no sentido do vetor + x ^ .

Assim, usando a regra da mão direita, com o dedo indicador representando o campo elétrico e o polegar representando o sentido de propagação da onda, o dedo médio vai te dar a direção e sentido do campo magnético.

Então, de acordo com a regra da mão direita, o campo magnético tem o sentido do vetor + y ^ .

B → z , t = 18,25 × 10 - 8 cos ⁡ 10 z - 3 × 10 9 t y ^       T

Passo 7

Letra (d)

Analisando a equação do campo elétrico:

E → z , t = 54,75 cos ⁡ ( 10 z - 3 × 10 9 t ) x ^       V/m

Temos que:

ω = 3 × 10 9   rad/s ;

k = 10   rad/m ;

Encontrando a frequência:

ω = 2 π f → f = ω 2 π

f = 3 × 10 9 2 π = 4,77 × 10 8   Hz

Encontrando o comprimento de onda:

k = 2 π λ → λ = 2 π k

λ = 2 π 10 = 0,63   m

Resposta

Letra (a):

A onda se propaga no sentido + z ^ .

Letra (b):

E → z , t = 54,75 cos ⁡ ( 10 z - 3 × 10 9 t ) x ^         V/m

Letra (c):

B → z , t = 18,25 × 10 - 8 cos ⁡ 10 z - 3 × 10 9 t y ^         T

Letra (d):

f = 4,77 × 10 8   Hz

λ = 0,63   m

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre, a partir das eqs. de Maxwell incluindo uma corrente j → , a expressão do balanço de energia médio para um campo monocromático, - div ⁡ S → + = 1 2 j → * ∙ E → + 2 i ω U E - U M Onde S → + é
Alguns escritores de ficção - cientifica têm descrito que velas solares poderiam propulsionar naves interestelares. Imagine uma vela gigante em uma nave espacial sujeita à pressão de radiação de nosso
Uma onda eletromagnetica tem frequencia de 100 MHz e esta viajando no vacuo.O campo magnetico edado por B(2,t)=(1,00x10-*T)cos(k-wf)i.(a)Determine o comprimento de onda e a direcao de propagacao desta
Os campos eletricos de duas ondas harmonicas eletromagneticas de frequencias angulares a e w,sao dados por E;=E:o cos(k,x-of)j e por E:=Ea cos(k,x-wt+8)j.Para a resultante destas duas ondas,determine(
Um longo solenoide com n voltas por unidade de comprimento conduz uma corrente que aumenta linearmente com o tempo. O solenoide tem raio R , comprimento L e a corrente I nas voltas é dada por I = a t