Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Média

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Enunciado

Uma partícula se move em uma trajetória circular horizontal no plano x - y , com velocidade escalar constante. No instante t 1 = 4 s , a partícula possui velocidade v → 1 = ( 3   m / s ) j ^ e aceleração no sentido positivo de x . No instante t 2 = 10   s , a partícula possui velocidade v → 2 = ( - 3   m / s ) i ^ e aceleração no sentido positivo de y . Considere a diferença t 2 - t 1 é menor que um período de rotação.

d ) Quais os vetores velocidade e aceleração no instante t 3 = 15   s ?

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui uma partícula se movendo em uma trajetória circular sobre o plano x - y , o enunciado nos dá algumas informações sobre instantes da trajetória, como por exemplo, nos indica que no instante t 1 = 4   s , a velocidade da partícula é tal que

v → 1 = ( 3   m / s ) j ^

da mesma forma, temos que em t 2 = 10   s , a velocidade é tal que

v → 2 = ( - 3   m / s ) i ^

O enunciado também nos dá informações sobre a direção da aceleração nestes dois instantes, no primeiro instante a aceleração está no sentido positivo de x , e no segundo instante, está no sentido positivo de y . Por último, nos é afirmado que t 2 - t 1 < T , em que T é um período de rotação! Belezinha?

Queremos encontrar os vetores velocidade e aceleração no instante t 3 = 15   s , o segredo para isso é encontrar a posição angular da partícula neste instante de tempo e utilizar esta informação para calcular as componentes dos vetores! Lembre que já sabemos os módulos de ambos, já que os dois têm módulo constante! Bora lá

Passo 2

Como temos que a velocidade escalar é constante, a posição angular da partícula ao longo da circunferência pode ser calculada através da expressão

θ ( t ) = θ 0 + | ω | ( t - t 0 )

Simplesmente para utilizar diretamente os dados que nos foram dados, vamos usar t 0 = t 4 = 4   s , ou seja, θ 0 = θ 4 = 0 ° . E, a expressão acima toma a forma

θ ( t ) = | ω | ( t - 4 )

Uma relação de proporcionalidade entre o ângulo em todo instante de tempo, vamos ter que encontrar a velocidade angular ω , isso é simples, já que podemos usar a relação

| v → | = | ω   | R

usando que | v → | = 3,0   m / s e que R = 11,46   m , temos que a velocidade angular é

| ω → | = 3 11,46 = 0,26   r a d / s

Ou seja, temos que para todo instante de tempo, nosso ângulo será dado por

θ ( t ) = 0,26   ( t - 4 )

Vamos usar essa expressão para encontrar o nosso ângulo no instante pedido e então trabalhar em obter o nosso vetor velocidade!

Passo 3

Em t 3 = 15   s , temos que nosso ângulo será

θ = 0,26   ( 15 - 4 ) = 2,86   r a d

mas como isso nos ajuda? Temos que em graus, este ângulo é dado por

θ = 2,86   × 180 ° π = 163,8 °

ou seja, esquematicamente, temos que o vetor está aproximadamente na seguinte posição

Mas, antes disso vamos olhar um pouco aos vetores v 1 → e v 2 → , podemos parametrizar os vetores velocidades tangencialmente em termos do ângulo se considerarmos a seguinte relação

v → = | v → | ( c o s ( θ ) j ^ - s e n ( θ ) i ^ ) = ( 3   m / s ) [ c o s ( θ ) j ^ - s e n ( θ ) i ^ ]

Teste θ = 0 e θ = 90 ° na expressão acima se estiver com dificuldade de visualizar! Usando o ângulo que calculamos temos que

v 3 → = ( 3 m / s ) [ c o s ( 2,86 ) j ^ - s e n ( 2,86 ) i ^ ] = ( 3   m / s ) [ - 0,96   j ^ - ( 0,27 ) i ^ ]

e, portanto, o nosso vetor é tal que

v 3 → = - [ 2,88   j ^ + 0,81 i ^ ]

Vamos encontrar agora a nossa aceleração! Vem comigo!

Passo 4

Nós encontramos o vetor aceleração centrípeta em termos de uma direção arbitrária R ^ nas alternativas anteriores, temos que

a c → ≈ ( 0,78   m / s 2 ) R ^

No entanto, queremos escrever o vetor em termos das direções i ^ e j ^ , analisando a posição de nosso vetor R ^ no esquema realizado acima, temos que

Vamos utilizar o ângulo α = π - θ , para calcular as componentes de R ^ como

R ^ = s e n ( α ) j ^ - c o s ( α ) i ^

usando que θ = 2,86   r a d , temos que α = 0,28   r a d , portanto, temos que

R ^ = s e n ( 0,28 ) j ^ - c o s ( 0,28 ) i ^ ≈ 0,28   j ^ - 0,96   i ^

e, portanto, o vetor aceleração é simplesmente

a c → ≈ ( 0,78   m / s 2 ) [ 0,28   j ^ - 0,96   i ^ ] = 0,22   j ^ - 0,75   j ^

Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

v 3 → = - [ 2,88   j ^ + 0,81 i ^ ] e a c → = 0,22   j ^ - 0,75   j ^

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