Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Média

Ver Teoria

Enunciado

A posição de uma partícula em movimento ao longo do eixo x varia no tempo de acordo com a expressão x = 3 t 2 , em que x está em metros e t em segundos.

  1. Calcule a sua velocidade média entre os instantes t i = 3 s e t f   =   3 s   + Δ t , para os valores Δ t = 0; 100 s, 0,010 s e 0,001 s.
  2. Qual é o valor da velocidade instantânea em t = 3s?

Passo 1

Oi pessoa, tudo bem? Essa questão é de velocidade média e instantânea! Para resolver, precisamos relembrar a diferença entre elas!

  • Velocidade média é a razão da distância total percorrida pelo tempo total transcorrido. Calculamos assim:
  • v m = s f - s i Δ t

    Para cada intervalo de tempo dado, precisamos calcular a posição final para achar a velocidade

  • Já a velocidade instantânea calculamos através da derivada da função que dá a posição em função do tempo! Aqui precisamos derivar a função e aplicar no tempo pedido (aqui é t = 3 s )

Beleza? Calma que vou fazer junto com você! Vamos começar?

Passo 2

A velocidade média para o primeiro intervalo de tempo Δ t = 0,1 s , sendo que a posição varia conforme x = 3 t 2 :

v m = x f - x i Δ t

Precisamos calcular a posição inicial para o instante t = 3 e depois a posição final para t = 3 + 0,1

A posição inicial ( t i = 3 ):

x i = 3 3 2 = 27

A posição final ( t f = 3,1 ):

x f = 3 3,1 2 = 28,83

Agora vamos calcular a velocidade média:

v m = 28,83 - 27 0,1 = 18,3 m / s

Certo?

Vamos repetir esse cálculo, mas agora para Δ t = 0,01 s :

A posição inicial é a mesma, pois o instante inicial não mudou,

x i = 27

A posição final ( t f = 3 , 0 1 ):

x f = 3 3 , 0 1 2 = 2 7,1803

Agora vamos calcular a velocidade média:

v m = 2 7,1803 - 27 0 , 0 1 = 18 , 0 3 m / s

Tranquilo?

Agora o último intervalo de tempo: Δ t = 0,001 :

A posição final ( t f = 3,0 0 1 ):

x f = 3 3,0 0 1 2 = 27 , 018003

Agora vamos calcular a velocidade média:

v m = 27 , 018003 - 27 0,0 0 1 = 18,0 0 3 m / s

Notem que quanto menor é o intervalo de tempo, mais a velocidade se aproxima do valor de 18 m / s

Passo 3

Agora a velocidade instantânea! A função que dá a posição em relação ao tempo é:

x = 3 t 2

E a derivada de x em relação ao tempo é:

v = d x d t = 6 t

Assim a velocidade no instante t = 3 s é:

v t = 3 = 6 . 3 = 18 m / s

A velocidade instantânea é aquela na qual o Δ t → 0 !

Beleza?

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

a 18 , 3 ;   18,03   e   18,003    

( b )   18 m / s

Exercícios de Livros Relacionados

O carro A está viajando para o leste a 20 m/s ao encontro de um cruzamento. Enquanto o carro A está passando pelo cruzamento, o carro B parte do repouso 40 m ao norte do cruzamento e viaja para o sul,
Dois atracadouros estão afastados de 2,0 km, na mesma margem de um rio que corre a 1,4 km/h. Um barco a motor faz a viagem de ida-e-volta entre os dois atracadouros em 50 min. Qual é a rapidez do barc
A velocidade inicial de um próton é v=4 i- 2 j+3 k ; 4 s mais tarde, passa a ser v=- 2 i - 2 j +5 k (em metros por segundo). Para esses 4 s , determine quais são (a) a aceleração média do próton na no
Um rinoceronte está na origem do sistema de coordenadas para t 1 = 0 . Para o intervalo de tempo entre t 1 = 0 e t 2 = 12 s , sua velocidade média possui componente x = – 3,8m / s e componente y = 4,9
Partindo do repouso no cais, um barco a motor, em um lago, aponta para o norte enquanto ganha rapidez a uma taxa constante de 3,0 m/s² durante 20 s. O barco, então aponta para o oeste e continua por 1