Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Média

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Enunciado

O trem A sai de uma estação a partir do repouso, rumo ao oeste, com aceleração constante de 0,5   m / s 2 . Já o trem B se move do norte para o sul com velocidade constante de 90   m / s , e passa por essa mesma estação 70 segundos após a partida do trem A . Considere o versos i ^ apontando para leste e o versor j ^ para o norte. Considere também a estação na origem do sistema de coordenadas, e considere o tempo inicial t = 0 no instante em que o trem A sai da estação.

a ) Escreva os vetores aceleração, velocidade e posição para os dois trens, em função do tempo e em termos de i ^ e j ^ .

b ) Qual é o vetor velocidade do trem B em relação ao trem A em função do tempo?

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

O enunciado nos descreve o movimento de dois trens, o trem A que tem uma aceleração de a → A = 0,5   m / s 2 , e a partir do repouso, se move para o oeste saindo de uma estação. O enunciado também indica a existência do trem B que vem do norte para o sul à uma velocidade constante de v → B = 90   m / s , chegando a estação 70   s depois que o trem A saiu! O esquema usando os versores indicados no enunciado é o seguinte

Usando estas informações, é preciso escrever os vetores aceleração, velocidade e posição para cada um dos trens, e obter o vetor velocidade relativa! E como obtemos estes vetores? Vai ser um ponto chave lembrarmos que a aceleração é a taxa de variação instantânea da velocidade, portanto

a → = d d t [ v → ]

e, da mesma forma, a velocidade é a taxa de variação da posição

v → = d d t [ x → ]

usando ambas estas relações, nós teremos os nossos vetores! A velocidade relativa entre ambos os trens pode ser obtida fazendo

v r → = v B → - v → A

Belezinha? Vamos partir para as continhas! Bora lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo os vetores aceleração! O trem A tem uma aceleração constante na direção oeste, como temos que o referencial é escolhido de forma que i ^ aponta para leste, então temos que

a → A = - 0,5   m / s 2   i ^

para o trem B no entanto, temos que sua velocidade é constante, portanto, a aceleração é nula

a → B = 0 →

Maravilha! Agora, vamos encontrar as velocidades!

Passo 3

Vamos trabalhar com a seguinte expressão

a → = d d t [ v → ]

se multiplicarmos ambos os lados por d t , temos que

a →   d t = d v →

Se considerarmos que em t = 0 , temos uma velocidade v → 0 , e que, para um tempo qualquer t , temos uma velocidade v → , podemos integrar ambos os lados da expressão acima, e obter

∫ t 0 t a →   d t = ∫ v → 0 v → d v →

usando que

∫ v → 0 v → d v → = v → | v → 0 v → = v → - v → 0

podemos obter que a nossa velocidade é dada por

v → = v → 0 + ∫ 0 t a →   d t

Agora, precisamos aplicar a expressão acima para ambos trens! Vem comigo!

Passo 4

Para o trem A , temos uma aceleração constante a → A = - 0,5   m / s 2   i ^ , podemos escrever então que

v A → = v → 0 A - 0,5 ∫ 0 t d t   i ^

usando que o trem A parte do repouso, temos que

v A → = 0 - 0,5 [ t - 0 ]   i ^ = - 0,5   t   i ^

da mesma forma, para o trem B , temos que

v B → = v → 0 B + ∫ 0 t 0 → d t = v → 0 B  

em que temos a velocidade dada no enunciado como

v B → = v → 0 B = - 90   m / s   j ^  

já que o sentido escolhido pelo referencial é positivo na direção norte, e o trem B está indo para o sul! Vamos encontrar agora nossas posições!

Passo 5

Da mesma maneira que fizemos para a velocidade, podemos escrever que

v → = d d t [ x → ]

se multiplicarmos ambos os lados por d t , temos que

v →   d t = d x →

Se considerarmos que em t = 0 , temos uma posição x → 0 , e que, para um tempo qualquer t , temos uma posição x → , podemos integrar ambos os lados da expressão acima, e obter

∫ t 0 t v →   d t = ∫ x → 0 x → d x →

usando que

∫ x → 0 x → d x → = x → | x → 0 x → = x → - x → 0

podemos obter que a posição é dada por

x → = x → 0 + ∫ 0 t v →   d t

Vamos aplicar esta expressão para ambos os trens! Saca só!

Passo 6

Temos que o trem A começa na estação, que é tomada como origem do sistema de coordenadas, portanto x → 0 = 0 → , além disso, podemos usar a velocidade obtida no passo anterior para obter que

x A → = 0 → - 0,5 ∫ 0 t t   d t   i ^ = - 0,5 ∫ 0 t t   d t   i ^

lembrando de cálculo 1 , temos que

∫ 0 t t   d t = 1 1 + 1 [ t 1 + 1 ] | 0 t = 1 2 t 2

portanto, nosso vetor posição para o trem A , é dada por

x A → = - 0,25   t 2   i ^

Agora temos que fazer o mesmo para o outro trem! Vamos lá!

Passo 7

Vamos chamar a posição do trem B de

y → B = y → 0 + ∫ 0 t v B →   d t

Note que em t = 0 , este trem está em uma posição y → 0 ≠ 0 → , já que ele não está na origem. Vamos usar as informações dadas no enunciado para encontrar este valor mais tarde! Primeiro, podemos usar a velocidade dada no enunciado para obter que

y → B = y → 0 - 90 ∫ 0 t d t   j ^

usando que

∫ 0 t d t = t | 0 t = t

ou seja, temos que a velocidade será dada por

y → B = y → 0 - 90 t   j ^

Mas como podemos achar y → 0 ? Note que ele nos diz que após 70   s , o trem B chega na origem, ou seja, para t = 70   s , temos que y B → = 0 → , de forma que podemos escrever

0 → = y → 0 - ( 90 × 70 )   j ^

Isolando o vetor posição inicial, temos que

y → 0 = 6300   m   j ^

Portanto, o vetor posição do trem B é simplesmente

y → B = ( 6300 - 90   t )   j ^

Maravilha! Temos as respostas da primeira alternativa! Vamos agora calcular a velocidade relativa para a segunda alternativa!

Passo 8

Usando a definição de velocidade relativa como

v r → = v B → - v → A

usando ambas as velocidades que obtemos nos passos anteriores, temos que

v r → = - 90   m / s   j ^ - ( - 0,5   t   ) i ^ = 0,5   t   i ^ - 90   j ^

resumindo, temos que

v r → = 0,5   t   i ^ - 90   j ^

Maravilha! As duas primeiras alternativas foram essas! Te vejo jajá nas outras duas! Até logo!

Resposta

Os vetores aceleração são a → A = - 0,5   m / s 2   i ^ e a → B = 0 → , os vetores velocidade são v A → = - 0,5   t   i ^ e v → B = - 90   j ^ , com velocidade relativa v r → = 0,5   t   i ^ - 90   j ^ , os vetores posição são x A → = - 0,25   t 2   i ^ e y → B = ( 6300 - 90   t )   j ^ .

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