Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Média

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Enunciado

A posição de uma partícula em função do tempo é dado por:

r → t = 4 sin ⁡ ( 2 π t ) i → + 4 cos ⁡ ( 2 π t ) j → ,

onde r está em metros e t em segundos.

(a) Calcule o vetor aceleração e mostre que a sua direção é radial e que seu módulo é v 2 / r ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o vetor aceleração e mostrar que sua direção é radial e seu módulo é v 2 / r . Pra isso, a gente precisa lembrar da relação entre as funções posição, velocidade e aceleração, já que a velocidade é a derivada da posição e a derivada da velocidade é a aceleração. Então, nosso vetor aceleração vai ser dado pela segunda derivada de r → ( t ) , ou seja:

a → t = d 2 d t 2 [ r → t ]

Os vetores i → e j → vão mostrar a direção desse vetor. Com o vetor a → t obtido, vamos calcular seu módulo e verificar se o resultado é igual a v 2 / r .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da posição e obtendo o vetor velocidade:

d d t r → t = d d t 4 sin ⁡ 2 π t i → + 4 cos ⁡ 2 π t j →

v → t = 8 π cos ⁡ ( 2 π t ) i → - 8 π sin ⁡ 2 π t j →

Derivando de novo temos o vetor aceleração:

a → t = d d t 8 π cos ⁡ ( 2 π t ) i → - 8 π sin ⁡ 2 π t j →

a → t = - 16 π 2 sin ⁡ ( 2 π t ) i → - 16 π 2 cos ⁡ 2 π t j →

Passo 3

Para verificar se o módulo de a → t é igual a v 2 / r , vamos calcular o módulo do vetor aceleração (tirando a raiz quadrada da soma de suas componentes ao quadrado):

a → t = - 16 π 2 sin ⁡ ( 2 π t ) 2 + - 16 π 2 cos ⁡ 2 π t 2

a → t = 256 π 4 sin 2 ⁡ ( 2 π t ) + 256 π 4 cos 2 ⁡ ( 2 π t )

Colocando 256 π 4 em evidência na raiz e usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ ( 2 π t ) + cos 2 ⁡ ( 2 π t ) = 1 , temos:

a → t = 256 sin 2 ⁡ 2 π t + cos 2 ⁡ 2 π t = 256 π 4

a → t = 16 π 2

Lá no passo 2 , a gente viu que o vetor velocidade é v → t = 8 π cos ⁡ ( 2 π t ) i → - 8 π sin ⁡ 2 π t j → , tirando o módulo dele, vamos obter:

v → t = 8 π cos ⁡ ( 2 π t ) 2 + - 8 π sin ⁡ 2 π t 2

v → t = 64 π 2 ( cos 2 ⁡ ( 2 π t ) + sin 2 ⁡ 2 π t ) = 64 π 2 = 8 π

O módulo do vetor posição r → t = 4 sin ⁡ ( 2 π t ) i → + 4 cos ⁡ ( 2 π t ) j → é dado por:

r → t = 4 sin ⁡ ( 2 π t ) 2 + 4 cos ⁡ ( 2 π t ) 2

r → t = 16 ( sin 2 ⁡ 2 π t + cos 2 ⁡ 2 π t ) = 16 = 4

Assim, fazendo v 2 / r com os resultados dos módulos que nós obtivemos, vamos ter:

v 2 r = ( 8 π ) 2 4 = 64 π 2 4 = 16 π 2

E olha só o módulo da acelração que nós calculamos é justamente a → t = 16 π 2 , portanto:

a → t = v 2 r

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a → t = - 16 π 2 sin ⁡ ( 2 π t ) i → - 16 π 2 cos ⁡ 2 π t j →   ( m / s 2 )

a → t = v 2 r

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