Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Aceleração Média

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Enunciado

Um trem com uma velocidade constante de 60,0   k m / h se move na direção leste por 40,0   m i n , depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0 º a leste com a direção norte por 20,0   m i n e, finalmente, na direção oeste por mais 50,0   m i n . Quais são

( a ) o módulo e

( b ) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?

Passo 1

Desenhando o trajeto percorrido pelo trem nós teremos algo como:

Na letra a queremos calcular o módulo da velocidade média desse trem, então tudo o que precisamos calcular é o deslocamento Δ S → do seu ponto inicial até o final e o temo que esse percurso Δ t . A velocidade média é dada por:

V m → = Δ S → Δ t

Para calcular esse Δ S → vamos tomar que ele sai da origem e calcular os vetores de posição em cada trecho que o problema nos conta. Partiu!!!

Passo 2

Vamos calcular a posição do objeto no primeiro movimento que ele faz (que é ir para leste durante 40min). Como a velocidade é constante, temos que

s 1 → = v → t 1

Onde s → é o vetor da distância. Lembrado que 40   min representa 2 3 hora , logo:

s 1 → = 60   km/h   i ^ ⋅ 2 3 h

s 1 → = 40   k m i ^

Ou seja, esse cara aí é a posição que ele chega depois dos 40min!

Passo 3

Passo 4

Vamos ver agora aonde ele chega quando começa esse movimento de “subida”. O módulo da velocidade é o mesmo nesse trecho, mas como é um movimento bidimensional, precisamos fazer uma decomposição:

V 2 → = V . s e n   50 o i ^ + V . cos ⁡ 50 o j ^

V 2 → = 60 sin ⁡ 50 ° i ^ + 60 cos ⁡ 50 °   j ^

V 2 → = 45,96   k m h i ^ + 38,57 k m h j ^

A componente î faz com que o trem ande um pouquinho para a direita: s 2 x = x 1 +   v 2 x .   t 2 = x 1 +   45,96 × 20 60 s 2 x =   x 1 + 15,32   k m

Como a gente viu no primeiro movimento que ele já tinha andado 40km, temos que

s 2 x =   40 +   15,32   = 55,32   k m

A componente j ^ faz com que o trem ande um pouquinho para cima: s 2 y = v 2 y .   t 2 = 38,57 × 20 60 s 2 y = 1 2 , 86   k m

Então temos:

s 2 → = 55,32   k m   i ^ + 12,86   k m   j ^

Passo 5

No terceiro trajeto, o trem só anda na horizontal, então sabemos que ele mantém a componente y da posição anterior. A posição horizontal é dada por

s 3 x = s 2 x - v .   t 3 s 3 x = 55,32 - 60 × 50 60 = 55,32 - 50 s 3 x = 5,32   k m

Então, o vetor posição do trem no fim do trajeto é: s 3   → = s 3 x i ^ + s 3 y j ^

s 3   → = 5,32   k m   i ^ + 12,86   k m   j ^

Passo 6

Como temos a posição final s 3 → e a posição inicial s 0 → (que adotamos ser a origem). O Deslocamento total Δ s → é dado por

Δ s → =   s 3 → -   s 0 → Δ s → = 5,32   i + 12,86   j - 0 i + 0 j Δ s → =   5,32   k m   i ^ + 12,86   k m   j ^  

O módulo da distância será então igual a:

Δ s → = 5,32 2 + 12,86 2

Δ s → = 13.91   km

Passo 7

Na letra a queremos o módulo da velocidade do trem e para isso nós temos que fazer:

V m = Δ s → Δ t

Onde o tempo percorrido pelo trem em horas será de:

t = 40 + 20 + 50   min 60   min h

t = 11 6   h

Logo o módulo da velocidade será de:

v = 13,91 11 6

v = 7,59   km/h

Passo 8

Como o vetor da velocidade é proporcional ao vetor posição equivalente então podemos afirmar que:

v → = 1 t   5,32   km i ^ + 12,86   km j ^

Então o vetor velocidade terá um ângulo de:

θ = tan - 1 ⁡ v y v x =   tan - 1 ⁡ 12,86 5,32

θ = 67.5   °   nordeste (norte do leste)  

E como o tempo é constante e é de 110   min ele não faz diferença para a angulação do vetor velocidade resultante, já que a velocidade é constante pra todos os trechos. Também poderia usar a referência angular como sendo:

θ = 22,5 °   leste do norte

Resposta

  1. 7.59   km/h
  2. 67.5 °   norte do leste

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